Question

Wykaż, że pole pięciokąta narysowanego obok jest równe ½a(x+y+z)

Answer 1

Pole 5-kąta możemy policzyć tak:

Najpierw weźmiemy trójkąt o podstawie a i wysokości x+y (ten z wierzchołkiem po lewej)

jego pole to 1/2 * a * (x+y)

Potem weźmiemy ten po prawej, o wysokości x+z. Jego pole to 1/2 * a * (x+z)

Teraz trzeba zauważyć, że jak zsumujemy te pola, to 2 razy policzymy pole trójkąta, o podstawie a i wysokości x (górny wierzchołek to ten środkowy wierzchołek 5-kąta)
pole tego trójkąta to 1/2 * a * x

Zatem pole pięciokąta to:
1/2 * a * (x+y) + 1/2 * a * (x+z) - 1/2 * a * x =
1/2 * a ( x+y+x+z-x) = 1/2 * a * (x+y+z)