Question

Wykaż, że między dowolnymi dwoma liczbami niewymiernymi leży liczba wymierna.

Answer 1

Niech: a, b - dowolne liczby niewymierne, oraz a<b (dla ustalenia uwagi)

Wtedy b - a = c i c > 0

Istnieje takie d, że d jest liczbą całkowitą i d < a < d+1

Buduje ciąg, zn, taki, że:

pierwszy wyraz tego ciągu to z0 = d

kolejny wyraz tego ciągu względem z(i-1), gdzie i >= 1, buduję:

zi = z(i-1) + (1/2)^i jeżeli zi < a

zi = z(i-1) - (1/2)^i jeżeli zi > a

Obserwacja 0: kazdy wyraz zi jest wymierny, bo sumuje liczby wymierne.

Obserwacja 1: Łatwo pokazać, że |zi - a| < (1/2)^i, zatem zn jest zbiezny (względnie) do a.

Można też zauważyć, że dla dowolnego zi jest zi>a lub zi<a.

Obserwacja 2: Jednak nie istnieje takie j, że dla kazdego i >= j zachodzi zi > a (2.1)

oraz podobnie nie istnieje takie j, ze dla kazdego i >= j zachodzi zi < a (2.2)

Dowod 2: (przez zaprzeczenie)

Niech będzie takie j, że dla każdego i >= j zachodzi zi > a. (dla 2.2 dowod analogiczny)

Wtedy zi dla i>=j jest zbiezny (bezwzglednie) do a, wiec zachodzi:

a = zj - (1/2)^(j+1) - (1/2)^(j+2) - ... = zj - (1/2)^j

Oczywiście zj jest liczbą wymierną, wiec sprzeczność.

Wniosek: dla każdej liczby rzeczywistej e>0 zachodzi: w przedziale (a-e,a) jest nieskonczenie wiele wyrazów ciagu zi, oraz w przedziale (a,a+e) jest nieskonczenie wiele wyrazów ciagu zi. A przeciez jako e mozna wybrac c.