Question

Wykaż, że liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=2x^4-7x³+3x²+8x-4

Answer 1

Skoro liczba 2 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=2x^4-7x³+3x²+8x-4 to ten wielomian można dwukrotnie podzielić bez reszty przez dwumian x-2


2x⁴-7x³+3x²+8x-4 : (x-2)=2x³-3x²-3x+2
2x⁴-4x³
...-3x³+3x²
...-3x³+6x²
........-3x²+8x
........-3x²+6x
..............2x-4
..............2x-4
..............====


2x³-3x²-3x+2 : (x-2) = 2x²+x-1
2x³-4x²
..... x²-3x
..... x²-2x
.........-x+2
.........-x+2
..........====

Answer 2

W(2) = 2*2^4-7*2^3+3*2^2+8*2-4
W(2)= 2*16- 7*8+12+16-4
W(2)= 32-56+24
w(2)=-24+24
W(2)=0

(x-2)

2x^4-7x³+3x²+8x-4 : (x-2)=2x^3-3x^2-3x+2
-2x^4+4x^3
= -3x^3+3x^2+8x-4
+3x^3-6x^2
= -3x^2+8x-4
+3x^2-6x-4
= 2x-4
-2x-4
= =
(x-2)(2X^3-3X^2-3x+2)=0

p(x)= 2x^3-3x^2-3x+2
P(2)= 2*2^3-3*2^2-3*2+2
p(2)= 2*8 -3*4-6+2
P(2) = 16-18+2
p(2)=0

2x^3-3X^2-3x+2 : (x-2) = 2x^2+x-1
-2x^3+4X^2
= x^2-3x+2
-x^2+2x
= -x+2
+x-2
= =
(x-2)(x-2)(2x^2+x-1)=0

2x^2+x-1
obliczamy delte ze wzoru = b^2-4ac
∆ = 1^2- 4*2*(-1)
∆ = 1+8
∆ = 9
√∆=3

Obliczamy miejsca zerowe
x1=(-b+√∆)/2a
x1= (-1+3)4
x1=2/4
x1=1/2
x2 = (-b-√∆)/2a
x2= (-1-3)/4
x2= -4/4
x2=-1

W ten sposób nasz wielomian W(x) = 2x^4-7x³+3x²+8x-4
ma postać (x-2)(x-2)(x+1)(x-1/2)

a więc pierwiastkami naszego wielomianu są liczby 2,2,-1 i 1/2
liczba dwa występuje dwukrotnie a wiec jest dwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu