Question

Wykaż, że jeśli wielomian W(x)=ax³+bx²+cx+d, gdzie a≠0, dla liczby 5 przyjmuje wartość 317, zaś dla liczby 1 przyjmuje wartość 12, to co najmniej jeden z jego współczynników nie jest liczbą całkowitą.

Proszę o wyjaśnienie.

Answer 1

W(5)=125a+25b+5c+d=317
W(1)=a+b+c+d=12 ⇒ d=12-a-b-c

125a+25b+5c+12-a-b-c=317
124a+24b+4c=305  /:4
c=305/4-31a-6b
305/4 ∉ C
II sposob:
jezeli W(x) jest wielomianem o wspolczynnikach calkowitych, to W(5)-W(1) jest podzielne przez 5-1=4
317-12=305 nie jest podzielne przez 4.
III sposob: 
Z tw. Bezoute'a jezeli istnieje calkowity pierwiastek wielomianu, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego
317 i 12 nie maja wspolnego dzielnika.

co nalezalo wykazac.

Answer 2

W(5) = 125a + 25b + 5c + d = 317
W(1) = a + b + c + d = 12

Odejmujemy stronami.
124a + 24b + 4c = 305
Wyznaczamy np. c.
4(31a+6b+c) = 305
c=305/4  - 31a - 6b
Mamy dwie możliwe sytuacje: albo a,b są całkowite, wtedy c nie jest całkowite (zwróć uwagę na ułamek), albo c jest calkowite, wtedy co najmniej jedna z liczb a lub b nie jest calkowita (bo musi skrócić tę 1/4).