Question

Wykaż, że jeśli a,b∈R i a≤b, to prawdziwa jest nierówność (a-b)^3≥4(a^3-b^3).

Answer 1

Verified answer

Nierówność - dowodzenie.

1. Mamy założenie
2. Przekształcamy nierówność:
   
   w szczególności zmiana znaku między drugą a trzecią linijką wynika z faktu, że wyrażenie (z założenia).
3. Finalnie mamy na końcu zawsze prawdziwą nierówność (kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny).
4. Jednak należy dodatkowo rozwiązać przypadek (bo dzielimy w punkcie drugim przez wyrażenie
   
   jest spełnione.
5. Co kończy dowód.

Należy pamiętać, że wartość dzielenia przez zero jest nieokreślona - gdy w trakcie rozwiazywania zadań dzielimy przez jakąś wartość, należy sprawdzić, co się stanie, gdy będzie ona równa zero. Dodatkowo w przypadku nierówności warto sprawdzić znak wyrażenia przez które mnożymy/dzielimy (bo zmienia się zwrot nierówności).