Question

Wykaż że jeśli a > 0 i b> 0 to

Answer 1

2/(1a + 1/b) ≤ √ab
2/[(a + b)/ab] ≤ √ab
2ab/(a + b) ≤ √ab / * (a + b)
2ab ≤ √ab(a + b)  podnosimy stronami do kwadratu
4a²b² ≤ ab(a +b)²
4a²b² ≤ ab(a + b)²
4a²b² - ab(a + b)² ≤ 0
ab[4ab - (a + b)²] ≤ 0
ab(4ab - a² - 2ab - b²) ≤ 0
ab(- a² + 2ab - b²) ≤ 0
- ab(a² - 2ab +b²) ≤ 0
- ab(a - b)² ≤ 0
ponieważ ab > 0 i (a - b)² ≥ 0 to - ab < 0 i - ab(a - b)² ≤ 0

Answer 2

 Założenie
a>0, b>0

Teza


Dowód
dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi nierówność

Przekształćmy nieco tę nierówność:


ponieważ a i b są liczbami dodatnimi, to wyrażenie . Możemy zatem, bez konieczności zmiany kierunku nierówności, obie strony nierówności podzielić przez to wyrażenie:



Ponieważ a i b sa dodatnie, to iloczyn ab>0, czyli po pomnożeniu przez ab obu stron nierówności otrzymamy:



Po prawej i po lewej stronie nierówności mamy liczby dodatnie, możemy zatem spierwiastkować obie strony nierówności, otrzymamy



ponieważ a>0 i b>0, to |a+b|=a+b i |ab|=ab, czyli



Przekształcamy teraz to wyrażenie:



tada