Question

Wykaż, że:
-jeśli (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a+b-2c)^2 + (b+c- 2a)^2 + (c+a-2b)^2, to a=b=c
-jeśli a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc , to a=b=c

Answer 1

Ostrzegam, ze jest troche liczenia:
1)
Zal: (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a+b-2c)^2 + (b+c- 2a)^2 + (c+a-2b)^2
Teza: a=b=c
Dowod:
Opieramy sie na przeksztalcaniu zalozenia.
wezmy prawa strone zalozenia:
P=(a+b)²-4c(a+b)+4c² +(b+c)²-4(b+c)a+4a²+(c+a)²-4(c+a)b +4b²
Teraz wezmy juz cale zalozenie i przeniesmy (a+b)², (b+c)² i (c+a)² na lewa strone:

(a-b)²+(a+b)²+(b-c)²-(b+c)²+(c-a)²+(c+a)²=
=4a²+4b²+4c² -4a(b+c)-4b(c+a)-4c(a+b)

Uzywaz wzoru na roznice kwadratow, upraszczam w glowie:
-4ab-4bc-4ac=4a²+4b²+4c²-4ab-4ac-4bc-4ab-4bc-4-4ac
4a²+4b²+4c²-4ab-4bc-4ac=0 /:4 /*2
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
A suma kwadratow jest rowna 0 wtedy i tylko wtedy, gdy kazdy z nich jest rowny 0., czyli:
a-b=0 ∧ b-c=0 ∧ a-c=0
a=b ∧ b=c ∧a=c
a z tego wynika, ze:
a=b=c
cbdu.

2)
Zal:
a²+b²+c²=ab+ac+bc
Teza: a=b=c
Dowod:
a²+b²+c²=ab+ac+bc /*2
2a+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
A suma kwadratow jest rowna 0 wtedy i tylko wtedy, gdy kazdy z nich jest rowny 0., czyli:
a-b=0 ∧ b-c=0 ∧ a-c=0
a=b ∧ b=c ∧a=c
a z tego wynika, ze:
a=b=c
cbdu.