Wykaż że jeżeli od sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych odejmiemy sumę kwadratów trzech.... Question from @xxxsandra2

animaldk $n; n+1; n+2-kolejne\ liczby\ naturalne\\k;k+1;k+2-kolejne\ inne\ liczby\ naturalne\\\\Suma\ wszystkich\ szesciu\ liczb:\\n+(n+1)+(n+2)+k+(k+1)+(k+2)=3n+3k+6\\\\Roznica\ miedzy\ suma\ kwadratow\ pierwszych\ liczb,\\a\ suma\ kwadratow\ drugich\ liczb:\\n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-k^2-(k+1)^2-(k+2)^2\\=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4-k^2-k^2-2k-1-k^2-4k-4\\=3n^2-3k^2+6n-6k=3(n^2-k^2)+6(n-k)\\=3(n-k)(n+k)+6(n-k)\\=(n-k)(3(n+k)+6)\\=(n+k)(3n+3k+6)\\\\c.n.d$

Alexsandrixonka $a; \ a+1; \ a+2-trzy \ kolejne \ liczby \ naturalne\\b; \ b+1; \ b+2-trzy \ (inne) \ kolejne \ liczby \ naturalne$

Obliczamy ile wynosi suma wszystkich sześciu liczb:

$a+a+1+a+2+b+b+1+b+2=3a+3b+6$

Od sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych odejmujemy sumę trzech innych, kolejnych liczb naturalnych. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\\\(a^{2}+(a+1)^{2}+(a+2)^{2} )-(b^{2}+(b+1)^{2}+(b+2)^{2})=\\(a^{2}+a^{2}+2a+1+a^{2}+4a+4)-(b^{2}+b^{2}+2b+1+b^{2}+4b+4)=\\(3a^{2}+6a+5)-(3b^{2}+6b+5)=3a^{2}+6a+5-3b^{2}-6b-5=\\3a^{2}+6a-3b^{2}-6b$

Wynik działania rozkładamy na czynniki:

$3a^{2}+6a-3b^{2}-6b=3a^{2}-3b^{2}+6a-6b=\\3(a^{2}-b^{2})+6(a-b)=3(a-b)(a+b)+6(a-b)=\\(3(a+b)+6)(a-b)=\underbrace{(3a+3b+6)}(a-b)\\. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ suma \ wszystkich \ szesciu \ liczb$
Jeden z czynników (3a+3b+6) jest równy sumie wszystkich sześciu liczb zatem udowodniono, że jeżeli od sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych odejmiemy sumę kwadratów trzech innych liczb naturalnych to otrzymamy liczbę podzielną przez sumę wszystkich sześciu liczb

Długosc promienia okregu wpisanego w trójkat o bokach 3, 4, 5 wynosi?

W czworokącie ABCD kat ABC jest o 30 stopni większy niż kat BAD kąt BAD jest dwukrotnie mniejszy niż kąt BCD natomiast kąt CDA jest o 18 stopni mniejszy niż kąt BCD. Wyznacz miary kątów tego czworokąta.

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostroslupa prawidłowego trójkątnego o krawedzi bocznej dl 5 nachylonej do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni z gory dziękuję za pomoc

W czworokącie ABCD kat ABC jest o 30 stopni większy niż kat BAD kąt BAD jest dwukrotnie mniejszy niż kąt BCD natomiast kąt CDA jest o 18 stopni mniejszy niż kąt BCD. Wyznacz miary kątów tego czworokąta.

Oblicz -√3/2-√3/2=? Dzieki z góry za pomoc

Oblicz wartość wyrażenia (sin30 + sin60)^2 -2tg60 * tg30

Opisz 100 i 130 psalm na jutro

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social