Question

Wykaż, że iloraz iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych i liczby 8 daje resztę 0. ( chodzi o zapis za pomocą n )

Answer 1

n - pierwsza l. naturalna 

n+1 - druga liczba naturalna

n+2 - trzecia liczba naturalna

n+3 - czwarta liczba naturalna

 

(n(n+1)(n+2)(n+3)) jest podzielne przez 8, bo

 

1) jeśli n jest nieparzyste, to n+1 jest parzyste (podzielne przez 2) oraz n+3 jest parzyste i podzielne przez 4 (co druga liczba wśród liczb naturalnych jest parzysta, co czwarta jest podzielna przez 4), a iloczyn liczb podzielnych przez 2 i przez 4 jest też podzielny przez 8

 

2) jeśli n jest parzyste, to jest podzielne przez 2 i n+2 musi wtedy być parzyste i podzielne przez 4, więc iloczyn tych liczb musi być podzielny przez 8

pozostałe liczby nie mają znaczenia, bo iloczyn liczb podzielnych przez 8 i dowolnych innych naturalnych jest już podzielny przez 8

 

3) jeśli przyjmiemy, że n=0, to cały iloczyn jest równy 0, a o też jest podzielne przez 8 i daje reszty 0.

 

Koniec dowodu

 

Jeśli będą pytania chętnie odpowiem:)