Question

Wykaż, że iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierny.

Answer 1

Dowód nie wprost (zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe i dochodzimy do sprzeczności)

Założenia:
Liczby wymierne:    gdzie
Liczba niewymierna:

Dowód:

Twierdzimy, że liczba wymierna razy liczba niewymierna = liczba wymierna.

Zapis symboliczny:

  gdzie  (przedstawienie liczby wymiernej w postaci ułamka)

  gdzie  .

Podstawiamy wszystko do wyrażenia: i otrzymujemy:



- z założeń wiemy, że Dodatkowo wiemy, że iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą oraz iloraz liczb całkowitych jest liczbą wymierną. Czyli wynika stąd, że nasze   jest liczbą całkowitą a jest to sprzeczne z naszym założeniem gdzie nasze   jest liczbą niewymierną.

Czyli ostatecznie dochodzimy do wniosku, że liczba wymierna różna od zera pomnożona przez liczbę niewymierną jest liczbą niewymierną.