Question

Wykaż, że funkcja f jest malejaca w zbiorze R, gdy: f(x)= x² * sgn(-x)

Answer 1

Wynika to z definicji funkcji SIGNUM, czyli ("znak").

Rozpatrzmy 3 przypadki.

 

1).

Gdy x <0.

Podstawiając wartości stopniowo zmieniające się do 0 (rosnąco) (x dążące do 0) otrzymamy:

 

f(x)=(-x)^2*sgn(-(-x) = x^2*sgn(x), czyli wartości będziemy mieli dodatnie (dążące do zera).

Czyli w zakresie liczb od - nieskończoności do 0 funkcja f(x) maleje.

 

2) Gdy x >0

Podstawiając wartości rosnąco (od zera do nieskończoności) po podstawieniu do wzory funkcji otrzymamy:

 

f(x)=(x)^2*sgn(-x) = -x^2*sgn(x)

I tu jak widać będziemy otrzymywac wartości ujemne. Wobec tego wraz ze wzrostem dodatnich wartości x, będziemy otrzymywać coraz to mniejsze wartości funkcji f(x) ale po stronie ujemnej. czyli funkcja dla dodatnich x-ów także maleje.

 

Wobec tego możemy napisać, że funkcja f(x) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.