Question

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej a, iloczyn a^2(a^2+1)(a^2+4) jest podzielny przez 5.

Answer 1

Kwadrat liczby naturalnej po podzieleniu go przez 5 zawsze da resztę 1 lub 4.

Chyba, że będzie to wielokrotność 5, to oczywiście reszta 0.

 

Jeżeli liczba naturalna a jest wielokrotnością liczby 5, to jest kwadrat również

 a² = 5k  gdzie k∈N zatem nasze wyrażenie ma postać:

5k (5k+1)(5k+4)

jak widać jest podzielne przez 5.

 

Jeżeli kwadrat liczby a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1 to:

a²=5k-4 gdzie k∈N

Wstawiając do równania mamy:

(5k-4)(5k-4+1)*(5k-4+4)=(5k-4)(5k-3)*5k

zatem nasza liczba jest podzielna przez 5

 

Jeżeli kwadrat liczby a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4 to:

a²=5k-1 gdzie k∈N

Wstawiając do naszego wyrażenia:

(5k²-1)(5k²-1+1)(5k²-1+4)=(5k²-1)*5k²*(5k²+3)

zatem jest podzielne przez 5