Question

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n^7−n jest podzielna przez 7. rozkładając tą liczbę na czynniki postępuję tak: n^7−n=n(n^6−1)=n(n^3−1)(n^3+1)=n(n−1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2−n+1)=? i jak dalej to udowodnić?

Answer 1

[/tex]

Answer 2

Akurat w tym wypadku rozkładanie na czynniki nam niespecjalnie pomaga. Dużo wygodniejsze jest skorzystanie w tym przykładzie z indukcji matematycznej(co z resztą zrobił poprawnie kolega powyżej, tylko jak zawsze zwięźle - i niestety dla n>=2 a nie dla całkowitych).

Masz udowodnić tezę dla liczb całkowitych.

1.Sprawdzamy, czy warunek jest spełniony dla:

2. Teraz zakładając, że warunek jest spełniony dla dowolnego k>=1 udowadniamy, że będzie spełniony również dla k+1:

Założenie:

Dowód:(przy rozwinięciu wyrażenia (k+1)^7 korzystamy z dwumianu Newtona):

(d jest liczbą całkowitą, ponieważ m jest liczbą całkowitą oraz k jest liczbą całkowitą)

Udowodniliśmy więc, że skorowarunek jest spełniony dla dowolnego k, to jest on również prawdziwy dla k+1, a tym samym Teza jest spełniona dla n>=1.

(W ten sposób udowodniliśmy Tezę dla liczb n naturalnych).

 

Gdy n<0:

Ponieważ udowodniliśmy, że wyrażenie w nawiasie jest zawsze podzielne przez 7 dla naturalnych m, Teza jest również spełniona dla n całkowitych<0.

 

Pozostało jeszcze sprawdzenie co dzieje się dla n=0:

0^7-0=0 - teaz również spełniona.

Teza jest więc spełniona dla każdego:

co należało udowodnić.