Wykaż że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność x^2+2x^2*y^2≥2(x^2*y+xy^2.... Question from @renatka1309

Szczegółowe wyjaśnienie:

$x^2+2x^2y^2\geq2(x^2y+xy^2)\\\\x^2+2x^2y^2\geq2x^2y+2xy^2\qquad|-2x^2y\\\\x^2-2x^2y+x^2y^2+x^2y^2\geq2xy^2\qquad|-2xy^2\\\\x^2\underbrace{(1-2y+y^2)}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}+x^2y^2-2xy^2\geq0\\\\x^2(1-y)^2+y^2(x^2-2x)\geq0$

$x^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}\\(1-y)^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}\\y^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}$

I problem zaczyna się przy ostatnim wyrażeniu, ponieważ

$\text{dla}\ x\in(0,\ 2)\ x^2$

WNIOSEK:

Ta nierówność nie jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej.

Jest tylko prawdziwa dla $x\in\left(-\infty,\ 0\right>\ \cup\ \left$

Z uwagi w komentarzu pod rozwiązaniem.

$x^2+2x^2y^2+y^2\geq2x^2y+2xy^2\qquad|-2x^2y-2xy^2\\\\x^2+\underbrace{x^2y^2+x^2y^2}_{2x^2y^2}+y^2-2x^2y-2xy^2\geq0\\\\x^2-2x^2y+x^2y^2+y^2-2xy^2+x^2y^2\geq0\\\\x^2\underbrace{(1-2y+y^2)}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}+y^2\underbrace{(1-2x+x^2)}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\geq0\\\\x^2(1-y)^2+y^2(1-x)^2\geq0$

$x^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}\\(1-y)^2\ \text{dla kazdego}\ y\in\mathbb{R}\\y^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ y\in\mathbb{R}\\(1-x)^2\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}$