Question

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
2a^2-2ab+3b^2 większe równe 0
Wiem, że trzeba to rozbić tak, żeby powstał wzór skróconego mnożenia (a-b)^2, ale oprócz tego 2a^2 + 2b^2 i właśnie tu nie wiem skąd to 2a^2 i 2b^2 się wzięło, mółgłby mi to ktoś wytłumaczyć?

Answer 1

Rozwiązanie:

Dalej się już nic z tym nie zrobi. Teraz w tego typu zadaniach trzeba napisać stosowny komentarz, potwierdzający nasz dowód. Otóż trzeba zauważyć, że liczby i są ZAWSZE nieujemne (czyli nieujemne dla ). Jest tak, ponieważ dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da nam nigdy liczby ujemnej (czyli mniejszej od ). Łatwo to sprawdzić:

itp.

Komentarz do tego zadania mógłby być taki:

Po lewej stronie nierówności otrzymaliśmy sumę kwadratów liczb rzeczywistych, które są zawsze nieujemne, więc całe wyrażenie także jest nieujemne dla .