Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c takich, że prawdziwa jest nierówność.... Question from @Smolar16

Smolar16 @Smolar16

January 2019 1 10 Report

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c takich, że $a+b+c=3$ prawdziwa jest nierówność $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 3$

Paawełek Zauważ na początek, że

$(a+b+c)^2 = a^2 +b^2 +c^2+ 2ab + 2bc + 2ac$

Odejmijmy te 2ab, 2bc, 2ac w prosty sposób: tworząc (a-b)^2, (a-c)^2 oraz (b-c)^2. I teraz zauważ, że:

$(a+b+c)^2 +(a-b)^2+(a-c)^2 +(b-c)^2 = \\ \\ =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-\\ -2bc+c^2= \\ \\ = 3a^2+3b^2+3c^2=3(a^2+b^2+c^2)$

I teraz tak. Jeśli X, Y, Z są wyrażeniami dowolnymi, to prawdziwa jest nierówność $X^2+Y^2+Z^2 \ge 0.$ stąd zaczynamy od prawdziwej nierówności i doprowadzamy ją do równoważnej:

$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \ge 0 \qquad /+(a+b+c)^2 \\ \\ \underbrace{(a+b+c)^2+(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2}_{3(a^2+b^2+c^2)} \ge (\underbrace{a+b+c}_{3})^2 \\ \\ \\ \\ 3(a^2+b^2+c^2) \ge 3^2 \\ \\ 3 (a^2+b^2+c^2) \ge 9 \qquad /:3 \\ \\ a^2+b^2+c^2 \ge 3$
Co w zasadzie należało wykazać

2 votes Thanks 0

More Questions From This User See All

Smolar16 March 2019 | 0 Replies

Rzucamy 9 razy dwiema symetrycznymi monetami. Oblicz najbardziej prawdopodobną liczbę rzutów, w których otrzymamy dwa orły

Smolar16 March 2019 | 0 Replies

Ze zbioru (-2, -1, 2, 0, 1, 3) wybrano dwie liczby bez zwracania a) określ omegę b) oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wybranych liczb jest liczbą pierwszą

Smolar16 March 2019 | 0 Replies

Wielomian W(x)=2x^3-x^2-x-3 ma tylko jeden pierwiastek. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego tego pierwiastka.

Smolar16 March 2019 | 0 Replies

Oblicz sumę sześcianów pierwiastków równania 3x2−15x−6=0

Smolar16 March 2019 | 0 Replies

Wykaż, że niezależnie od wartości parametru m∈R, liczba 1 jest jednym z trzech pierwiastków równania

Smolar16 March 2019 | 0 Replies

Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A(2,7) i B(-2,1), którego promień wynosi r=√26

Smolar16 February 2019 | 0 Replies

Oblicz granice:

Smolar16 February 2019 | 0 Replies

Oblicz:

Smolar16 February 2019 | 0 Replies

Dla jakich wartości parametru m, gdzie m∈R-(3), równanie ma rozwiązanie?

Smolar16 February 2019 | 0 Replies

Rozwiąż równanie wykładnicze:

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Terms of Service

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.