Question

Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b spełniony jest warunek:

a+b
---- ≥ √ab
2

Answer 1

Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b spełniony jest warunek:

a+b
---- ≥ √ab
2
(√a+√b)²≥0 dla a,b≥0 czyli dla dodatnich też

a+2√ab+b≥0
a+b≥2√ab /:2
(a+b)/2 ≥√ab

Answer 2

A+b≥2√ab
a-2√ab+b≥0 → wzór skróconego mnożenia
(√a-√b)²≥0
kwadrat różnicy dwóch liczb zawsze jest liczbą większą lub równą zeru (trzeba jeszcze dorysować te strzałeczki, że a-2√ab+b≥0 wynika z (√a-√b)²≥0, a a+b≥2√ab wynika z a-2√ab+b≥0)
c.n.u.

Answer 3

(a+b)/2 ≥ √ab dla a≥0 i b≥0
(a+b) ≥2 √ab
podnieśmy obustronnie do kwadratu
a²+2ab+b²≥4 ab
a²+2ab+b²-4ab≥0
a²-2ab+b²≥0
(a-b)²≥0

kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze dodatni, co należało wykazać