Question

Wykaż, że dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej x liczba 2x²+4x+10 jest podzielna przez 8.

Uzasadnij, że liczba 4^12+4^13+4^14 jest podzielna przez 42.

Answer 1

Wykaż, że dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej x liczba 2x²+4x+10 jest podzielna przez 8.

Weźmy liczbę n naturalną. Liczba 2n+1 jest liczbą nieparzystą dla dowolnej liczby n.

Podstawiamy x=2n+1:

2(2n+1)²+4(2n+1)+10=2(4n²+4n+1)+8n+4+10=8n²+8n+2+8n+14=

=8n²+16n+16=8(n²+2n+2)

Liczba n²++2n+2 jest liczbą naturalną dla dowolnego n naturalnego.

iloczyn 8 i dowolnej liczby naturalnej jest liczbą podzielną przez 8.

Uzasadnij, że liczba 4¹²+4¹³+4¹⁴ jest podzielna przez 42.

W wyrażeniu 4¹²+4¹³+4¹⁴ możemy wyciągnąć przed nawias najmniejszą z podanych potęg liczby 4, a następnie wykonać działania w nawiasie:

4¹²+4¹³+4¹⁴=4¹²·(1+4¹+4²)=4¹²·(1+4+16)=4¹²·21=(2²)¹²·21=2²⁴·21=2·2²³·21=2·21·2²³=42·2²³

2²³ jest liczbą naturalną. Iloczyn liczby 42 i liczby naturalnej jest podzielny przez 42.

Temat: dowodzenie twierdzeń, podzielność liczb

Poziom: szkoła średnia

Answer 2

2x²+4x+10 
x=2n-1  liczba nieparzysta  n naturalna
2(2n-1)²+4(2n-1)+10=2(4n²-4n+1)+8n-4+10=8n²-8n+2+8n+6=8n²+8=8(n²+1)
iloczyn 8 i liczby naturalnej n²+1  jest podzielny przez 8

4^12+4^13+4^14=4^12(1+4+4²)=4^12*(1+4+16)=4^12*(21)  liczba jest parzysta (bo 4^12 jest parzyste) i podzielna przez21 wiec pidzielna przez42