Question

W(x)=x^3+4x+p, p>0 i jest liczbą pierwszą. Znajdz p wiedząc, że W(x) ma pierwiastek całkowity

Answer 1

z Tw. Bezout'a - Jezeli wielomian ma pierwiastek calkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

p>0 i l. pierwsza - ma 2 dzielniki (przez 1 i przez sama siebie).

Niech pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba -1 lub 1 (wybieram -1, bo p>0 i nie moze byc dwoch pierwiastkow dodatnich, bo a>0 i b>0)

 

(x³+4x+p):(x+1)=x²-x+5

-x³-x²

--------

     -x²+4x

      x²+x

    ---------

          5x+p

        -5x-5

        ______

    R = p-5

 

p-5=0

p=5

 

Answer 2

pierwiastek całkowity, to dzielnik wyrazu wolnego równania, czyli p

p jest liczbą pierwszą, więc ma dzielniki p ,- p . 1 , -1

podstawiamy do równania;

 p³+4p+p = 0

p nie jest liczbą pierwszą

 

(-p)³-4p+p =0

-p³-3p = 0

p nie jest liczbą pierwszą

 

 

1³+4+p=0

p=-5

p ma byc większe od 0

 

(-1)³-4+p=0

-5=-p

p=5

jest liczbą pierwszą i jest większa od 0, czyli spełnia warunki

 

odp:

p=5