Question

Wsród prostopadłoscianów o podstawie kwadratowej i jednostkowej objetosci wskazac
ten, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Answer 1

A - bok podstawy
h - wysokosc
V = 1 - objetosc

V = a*a*h
h = V / (a*a)
h = 1 / (a*a)

P = 2a² + 4*a*h = 2a²+4/a

Możemy założyć, że pole jest funkcją długości podstawy, mamy wtedy
P(a) = 2*a*a + 4 / a

Liczymy pochodną:

P'(a) = 4*a - 4 / a^(-2)

i szukamy miejsca zerowego pochodnej (tam będzie minimum funkcji)

P'(a) = 0 czyli
4a - 4/a^(-2) = 0
a = 1 / a^(-2)

Możemy założyć, że a > 0 (bo podstawa musi mieć dodatnią długość)

Wtedy mamy
a = 1 / a^(-2) | * a*a
a^3 = 1
a = 1

Zatem najmniejsze pole, jest dla a=1, wtedy P = 6
Łatwo sprawdzić, że dla innych przykładowych wartości a pole jest większe od 6