Wśród stożków o tworzącej mającej długość 4 cm, znajduje się ten, którego objętość jest największa. Wyznacz promień r podstawy i wysokość tego stożka. Podaj jego największą objętość V.
Dziedzina: r>0 ∧ 16-r²>0 ⇒ (4-r)(4+r)>0 ⇒r∈(-4;4) oraz warunek pierwszy to otrzymujemy, że r∈(0;4)
V=1/3π*r²*h = 1/3π*r² * √16-r² V(r)=1/3π*√16r^4-r^6 - funkcja opisująca objętość stożka od zmiennej r (wrzucam r pod pierwiastek, lecz jeżeli miałeś pochodną funkcji złożonej można nie wrzucać pod pierwiastek) Wystarczy rozpatrzeć funkcję pod pierwiastkiem czyli f=16r^4-r^6 pochodna f'=64r³-6r^5 miejsca zerowe pochodnej f'=0 ⇔ 64r³-6r^5=0 r³(64-6r²)=0 r³(8-√6 r)(8+√6r)=0 r1=0 - 3 krotny r2=8/√6 r3=-8/√6
wykres pochodnej to wykres wielomianu (trzy pierwiastki wszystkie nieparzysto krotne czyli przebija oś Ox w miejscach zerowych oraz współczynnik przy najwyzszej potędze ujemny czyli szkicujemy od prawego dołu) Pochodna w punkcie 8/√6 zmienia znak z "+" na "-" czyli w tym punkcie osiąga maksimum lokalne (pozostałe pierw nie należą do dziedziny) więc r=8/√6=8√6/6=4√6/3 h²=16-r² h²=16-32/3=16/3 h=4/√3=4√3/3
z tw Pitagorasa
h²+r²=16 ⇒ h=√16-r²
Dziedzina: r>0 ∧
16-r²>0 ⇒ (4-r)(4+r)>0 ⇒r∈(-4;4) oraz warunek pierwszy to otrzymujemy, że
r∈(0;4)
V=1/3π*r²*h = 1/3π*r² * √16-r²
V(r)=1/3π*√16r^4-r^6 - funkcja opisująca objętość stożka od zmiennej r (wrzucam r pod pierwiastek, lecz jeżeli miałeś pochodną funkcji złożonej można nie wrzucać pod pierwiastek)
Wystarczy rozpatrzeć funkcję pod pierwiastkiem czyli
f=16r^4-r^6
pochodna
f'=64r³-6r^5
miejsca zerowe pochodnej
f'=0 ⇔ 64r³-6r^5=0
r³(64-6r²)=0
r³(8-√6 r)(8+√6r)=0
r1=0 - 3 krotny
r2=8/√6
r3=-8/√6
wykres pochodnej to wykres wielomianu (trzy pierwiastki wszystkie nieparzysto krotne czyli przebija oś Ox w miejscach zerowych oraz współczynnik przy najwyzszej potędze ujemny czyli szkicujemy od prawego dołu)
Pochodna w punkcie 8/√6 zmienia znak z "+" na "-" czyli w tym punkcie osiąga maksimum lokalne (pozostałe pierw nie należą do dziedziny)
więc
r=8/√6=8√6/6=4√6/3
h²=16-r²
h²=16-32/3=16/3
h=4/√3=4√3/3
V=1/3π [(4√6)/3]² * 4√3/3
V= (128√3 / 27)π