Question

Wojtek i Asia mieli takie same krążki papieru o promieniu 18 cm. Wojtek pociął swó krążek na sześć jedakowych wycinków, a Asia na trzy jednakowe wycinki. Każe z nich ze wszystkich swoich wycinków skleiło modele stożków( bez podstaw). Czy suma objętości wszystkich stożków Wojtka jest większa od sumy objętości wszystkich stożków Asi?

Answer 1

możemy zapisać, że obwód krążka = 2 * PI * R

 

wojtek podzielił na 6 fragmentów czyli 2 * PI * R / 6 = 1/3 * PI * R

asia podzieliłą na 3 fragmenty czyli 2 * PI * R/3 = 2/3 * PI * R

 

wzór na objętość stożka

 

 

patrz rysunek

 

co mamy dane?

wojtek  wycinek = 1/3 PI * R

asia wycinek  = 2/3 * PI * R

 

z rysunku widać, że nasze l = R 

 

nie mamy małego r (promienia stożka)

 

jak je wyciągnąć?

z obliczonego wcześniej wycinka,

zauważ,że fragment danego wycinka to obwód podstawy naszego stożka

czyli możemy zapisać, że

 

w przypadku wojtka

1/3 * PI * R = 2 * PI * r                //dzielimy przez PI

1/3 * R = 2 * r                          //dzielimy przez 2 (czyli mnożenie przez odwrotność czyli 1/2)

1/3 * 1/2 * R  = r

r = 1/6 R= 1/6 * 18 = 3

Pp =  r^2* PI = 3 PI

V = 1/3 Pp H *6 (stożków) = 2 * 3 * PI * H  = 6 PI * H

 

w przypadku asi

2/3 * PI * R = 2 * PI * r                   //dzielimy przez PI

2/3 * R = 2 * r                           //dzielimy przez 2 (czyli mnożenie przez odwrotność czyli 1/2)

2/3 * 1/2 * R = r

r = 1/3 R= 1/3* 18 = 6

Pp = r^2 * PI =  36 PI

V = 1/3 Pp H *3 (stożki) = Pp H  = 36 PI * H

 

pozostanie jeszcze policzyć wysokość H na podstawie l i r,

jak widzisz mamy trójkąt prostokątny z boków r, H, l

czyli

H^2 + r^2 = l^2

l = R

H^2 = R^2 - r^2

wojtek: r= 3 R=18 

asia r = 6 R = 18

 

wojtek  H^2 = 18^2 - 9  = 315

asia H^2 = 18^2 - 36 = 288

 

wojtek V  = 6 PI * H

asia V = 36 PI * H

 

możemy wyciągnąć pierwiastek ale to już nie ma sensu,

bo wiadomo, że 6H jest mniejsze od 36H

zatem stożki wojtka są mniejsze pod względem objętości

 

liczę, że się nie walnąłem nigdzie