Witam.Bardzo proszę o rozwiązanie poniższego zadania i dokładnie wytłumaczenie.Zbadaj zbieżność śred.... Question from @vivindalka

November 2018 1 93 Report

Witam.
Bardzo proszę o rozwiązanie poniższego zadania i dokładnie wytłumaczenie.

Zbadaj zbieżność średniokwadratową powołując się na odpowiednie twierdzenie - przytocz to twierdzenie.

$\sum_{i=0}^{n=1}[W(\tau_i)-W(t_i)]^2\xrightarrow {L^2}\alpha(b-a)$

Bardzo dziękuję.

Roma Na podstawie twierdzenia:
$\sum\limits_{i=0}^{n=1} (W(t_{i+1}) - W(t_i))^2 \xrightarrow {L^2} b-a \\\\ \\\
\sum\limits_{i=0}^{n=1}(W(\tau_i)-W(t_i))^2\xrightarrow[n \to \infty]{L^2} \alpha(b-a) \\\\
a = t_o, \ \ b = t_n \\\\
a = t_o < \ldots < t_n = b \\\\
\tau_i = \alpha (t_{i+1}) +(1- \alpha)t_i \\\\
\tau_i = \alpha b +(1-\alpha)a =\alpha(b -a) +a$

$E \ [\ \sum\limits_{i} (W(\tau_i)-W(t_i))^2 \ ] = \sum\limits_{i} \
 E \ (W(\tau_i)-W(t_i))^2 = \sum\limits_{i} (\tau_i - t_i) = \\\\ = 
\sum\limits_{i} (\alpha t_{i+1} + t_i (1 - \alpha) - t_i) 
=\sum\limits_{i} (\alpha t_{i+1} - \alpha t_i) = \alpha \sum\limits_{i} 
(t_{t+1} - t_i) = \\\\
= \alpha(b-a)$

--------------------
$\sum\limits_{i=0}^{n=1} (W(t_{i+1}) - W(t_i))^2 \xrightarrow {L^2} b-a$
--------------------

$E \ [\ \sum\limits_{i} (W(\tau_i)-W(t_i))^2 - \alpha (b -a) \ ]^2 =
 D^2(\sum\limits_{i} (W(\tau_i)-W(t_i))^2)= \\\\ =\sum\limits_{i} \ D^2 \
 (W(\tau_i)-W(t_i))^2 =\sum\limits_{i} \ (E \ (W(\tau_i)-W(t_i))^4 \\\\
-(E \ (W(\tau_i)-W(t_i))^2)^2) = \sum\limits_{i} (3 \ (\tau_i - t_i)^2 -
 (\tau_i -t_i)^2) =\\\\
= 2 \ \sum\limits_{i} (\tau_i -t_i)^2 = 2 \ \sum\limits_{i} (\alpha 
t_{i+1}+ (1 - \alpha) t_i - t_i)^2 =$

$=2 \ \sum\limits_{i} (\alpha (t_{i+1} -t_i))^2 =2 \alpha^2 \ \sum\limits_{i} (t_{i+1} -t_i)^2 \leq 2 \alpha^2 \delta(b -a) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$

9 votes Thanks 2

vivindalka Bardzo Ci dziękuję :)