Question

Witam proszę o rozwiązanie kilku zadać z matematyki. Są w załączniku. Potrzebuję je na jutro rano. Z góry dziękuję. Daje naj!

Answer 1

z.1

f(x) = x^2 , gdy x < 0; 0 gdy x = 0; -x gdy x > 0

Wykres funkcji składa się z połowy paraboli i półprostej.

Aby narysować wykres wyznaczymy kilka punktów należących do niego:

f( - 1/2) = ( -1/2)^2 = 1/4

A = ( -1/2 ; 1/4)

f(-1) = (-1)^2 = 1

B = ( -1; 1)

f( -1,5) = ( -1,5)^2 = 2,25 = 2  1/4

C = ( -1,5 ; 2,25)

f( -2) = (-2)^2 = 4

D = ( -2 ; 4)

f( -2,5) = (-2,5)^2 = 6,25 = 6  1/4

E = ( -2,5 ; 6,25)

f(-3) = (-3)62 = 9

F = ( -3; 9)

f( 0) = 0^2 = 0

O = ( 0; 0)

f(2) = - 2

P = ( 2 ; -2)

Przez punkty O,A,B,C,D,E,F  prowadzimy krzywą ( część paraboli),

a punkty O  oraz P  wyznaczają półprostą OP-->

Funkcja f jest malejąca z całej swej dziedzinie czyli w R.

R - zbiór liczb rzeczywistych.

--------------------------------------------

 

z.2

f(x) = 3 x^2 - 9x + 6

< 0 ; 2 >

Mamy: a = 3 ,  b = - 9 ,  c = 6

Obliczam p

p = -b/(2a) =  9/6 = 3/2 = 1,5

a =  3 > 0 , zatem funkcja f maleje dla  x < p   czyli  dla x < 1,5

oraz rośnie dla x > 1,5

Dla x = p = 1,5  funkcja przyjmuje najmniejszą wartość q

q = f( p) = f( 1,5) = 3 *(1,5)^2 - 9*1,5 + 6 = 3*2,25 - 13,5 + 6 =

  = = 6,75 - 13,5 + 6 = - 0,75

czyli

y min = q = -0,75

=====================

Obliczam teraz wartości funkcji na krańcach przedziału < 0; 2 >

f(0) = 3*0^2 - 9*0 + 6 =  6

f(2) = 3*2^2 - 9*2 + 6 = 3*4 - 18 + 6 = 12 - 18 + 6 = 0

zatem

y max = f(0) = 6

====================

z.4

a)

- 4 x^2 + 5x + 9 < = 0

a = - 4 < 0  - ramiona paraboli skierowane ku dołowi

delta = 5^2 - 4*(-4)*9 = 25 + 144 = 169

p ( delty ) = p (169 ) = 13

x1 = [ - 5 + 13]/(-8) = 8/(-8) = - 1

x2 = [ - 5 - 13 ]/(-8) = - 18/(-8) = 2,25

Odp.  x  należy do  ( - nieskończoność; - 1 > u < 2,25 ;  + nieskończoność )

===============================================================

b)

3 x^2 + x + 5 > 0

a = 3 > 0     - ramiona paraboli skierowane są ku górze

delta = 1 - 4*3*5 = 1 - 60 = - 59 < 0

Nie ma miejsc zerowych czyli cały wykres leży nad osią OX,  a to

oznacza, że 3 x^2 = x + 5 > 0  dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

Odp. R - zbiór liczb rzeczywistych

======================================

 z.5

W(x) = x^4 - 2 x^2 + x - 2

P(x) = x^3 + 3 x + 1

Q (x) =2 x^4 + x^3 - x + 6

zatem

2 P (x) = 2*( x^3 + 3x + 1) = 2 x^3 + 6 x + 2

3 Q(x) = 3*( -2 x^4 + x^3 - x + 6 ) = - 6 x^4 + 3 x^3 - 3x + 18

zatem

W(x) - 2 P(x) + 3 Q(x) = [ x^4 - 2 x^2 + x - 2 ] - [ 2x^3 + 6x + 2 ] +

     + [ - 6x^4 + 3 x^3 - 3x + 18 ] = x^4 -6 x^4 - 2 x^3 + 3 x^3 - 2x^2 +

+ x  - 6x -3x - 2 - 2 + 18 =

= - 5 x^4 + x^3 - 2 x^2  -8x  + 14

====================================