Question

Witam oto moje zadania, nie mogę sobie z nimi poradzić:

1. Dane są liczby 3, a, b, 25. Trzy pierwsze tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Trzy ostatnie ciąg geometryczny. Wyznacz a i b.

2. Trzy liczby, których suma wynosi 33 tworzą ciąg arytmetyczny. Pierwszą zostawiamy bez zmian. Do drugiej dodajemy 3, do trzeciej 13 i otrzymujemy w ten sposób ciąg geometryczny. Wyznacz trzy liczby początkowe.

3. W ciągu arytmetycznym suma dziesięciu początkowych wyrazów wynosi 120. Natomiast suma pięciu pierwszych wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 65. Wyznacz ciąg i znajdź 'n' takie, aby a7, a10, an utworzyły ciąg geometryczny.

Z góry dziękuję za pomoc.

Answer 1

z.1

3,a,b   - ciąg arytmetyczny, więc  a - 3 = b - a  => b =2 a - 3

a,b, 25  - ciąg geometryczny, więc  b^2 = a*25 = 25 a

czyli

( 2a - 3)^2 = 25 a

4 a^2 - 12 a + 9 - 25 a = 0

4 a^2 - 37 a + 9 = 0

delta = ( -37)^2 - 4*4*9 = 1 369 - 144 = 1 225

p( delty) = 35

a = ( 37 - 35)/8 = 2/8 = 1/4               lub       a = ( 37 + 35)/8 = 72/8 = 9

b = 2*(1/4) - 3 = 1/2 - 3 = - 2  1/2     lub      b =  2*9 - 3 =   15

Ponieważ ma być ciąg rosnący, więc

Odp.   a = 9,    b = 15

=======================================

z.2

a,b,c  - ciąg arytmetyczny, więc  b - a = c - b   =>  2b = a + c

a + b + c = 33

czyli

b + ( a + c) = 33

b + 2b = 33

3b = 33

b = 11

====

a, b + 3, c + 13    - ciąg geometryczny, więc ( b + 3)^2 = a*( c + 13)

zatem

( 11 + 3)^2 = a*( c + 13)

a + c = 2 b = 2*11 = 22  => a = 22 - c

czyli

14^2 = (22 - c)*( c + 13)

196 = 22 c + 286 - c^2 - 13 c

c^2 - 9 c - 90 = 0

---------------------------

delta = (-9)^2 - 4*1*( -90) = 81 + 360 = 441

p( delty) = 21

c = (9 - 21)/2 = - 6     lub   c = ( 9 + 21) /2 = 15

dlatego

a = 22 - ( -6) = 28    lub    a = 22 - 15 = 7

Odp.

a = 28  lub  a = 7,  b = 11, c = - 6  lub c = 15

====================================

z.3

Mmay

a1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 65

czyli

a1 + a1 + 2r +a1+ 4r +a1 + 6r + a1 + 8r  =65

5 a1 + 20 r = 65  / : 5

a1 + 4 r = 13

==========

S10 = 0,5 (a1 + a10)*10 = 120

5 *(a1 + a10) = 120  / : 5

a1 + a10 = 24

==============

a1 + 4r = 13  =>  a1 = 13 - 4r

a1 + a1 + 9r = 24

-------------------------

2 a1 + 9r = 24

2*( 13 - 4r) + 9r = 24

26 - 8r + 9r = 24

26 + r = 24

r = - 2

=====

a1 = 13 - 4*(-2) = 13 + 8 = 21

===========================

więc

a7 = 21 + 6 *(-2) = 21 - 12 = 9

a10 = 21 + 9*(-2) = 21 - 18 = 3

an

9/an = 3/9 = 1/3

an = 27 > a1  - odpada

lub

3/9 = an/ 3 = 1/3   => an = 1

an = a1 + ( n -1) r  = 21 - 2*( n -1)

czyli

21 - 2n + 2 = 1

2n = 22

n = 11

==========

 

a7,a10,a11  - ciąg geometryczny.

==============================

 

Answer 2

1.

3, a, b   - ciąg arytmetyczny

a, b, 25  - ciąg geometryczny

a < b

 

3+b = 2a

25a = b²

 

b = 2a-3

25a = (2a-3)²

25a = 4a²-12a+9

4a²-37a+3 = 0

Δ = 1369-144 = 1225

√Δ = √1225 = 35 

a1 = (37-35)/8 = 1/4   v   a2 = (37+35)/8 = 9

b1 = 1/2 - 3 = 2,5       v    b2 = 18-3 = 15

a < b 

{a = 9}

{b = 15}

 

2.

33 = a-r+a+a+r = 3a

3a = 33  /:3

a = 11

 

liczby: 11-r,  14,  24+r   - tworzą ciąg geometryczny, czyli:

14² = (11-r)(24+r)

196  = 264+11r-24r-r²

196 = 264-13r-r²

r²+13r-68 = 0

Δ = 169+272 = 441

√Δ = 21 

r = (-13-21)/2 = -17   v   r = (-13+21)/2 = 4

 

a1 = 11-(-17) = 28,   a2 = 11,         a3 = 11-17 = -6

lub

a1 = 11-4 = 7,          a2 = 11,          a3 = 11+4 = 15

Odp. Szukane liczby to: (28,11,-6) lub (7,11,15)

 

3.

(a1+a10)*10/2 = 120   /:10

(a1+a9)*5/2 = 65   /:5

 

r - różnica ciągu arytm.

 

(a1+a1+9r)/2 = 12  I*2

(a1+a1+8r)/2 = 13  I*2

 

2a1+9r = 24

2a1+8r = 26   I*(-1)

 

2a1+9r = 24

-2a1-8r = -26

------------------ +

r = -2

------

2a1-18 = 24

2a1 = 42  /:2

a1 = 21

 

an = a1+(n-1)r

an = 21+(n-1)*(-2) = 21-2n+2

an = -2n+23

---------------

a7 = 23-14 = 9

a10 = 23-20 = 3

 

(9,3,x)  - ciąg geometryczny

Z def. ciągu:

9x = 3²

9x = 9  /:9

x = 1

 

an = 1

 

-2n+23 = 1

-2n = -22  /:(-2)

n = 11

--------