Question

Witam. Oferuje dużo pkt, ale prosze o szybkie i uczciwie rozwiązanie. Prosze napisac wszystko z Logiki łącznie z przykładami i definicjami. A co najważniejsze rozpisac prawda De Morgana i zrobić kilka przykładów.

Answer 1

Zdanie

---------

W logice zdaniem nazywamy kążde zdanie oznajmujące (orzekające,

o którym mozna jednoznacznie powiedzić, ze jest prawdziwe albo fałszywe.

Zdanie prawdziwe ma wartość logiczną 1 , a zdanie fałszywe wartość logiczną 0.

Zdania na ogół oznacza się literami: p,q,r, ...

Przyklady zdań logicznych:

Polska jest państwem europejskim. 1

Liczba 1 jest najmniejszą liczbą pierwszą. 0

Każdy kwadrat jest prostokątem. 1

Każdy romb jest kwadratem. 0

Równanie x² +1 = 0 nie ma rozwiązań w zbiorze R ( liczb rzeczywistych). 1

Negacja ( zaprzeczenie ) zdania p

------------------------------------------

Zdanie " nieprawda, że p " nazywamy negacją lub zaprzeczeniem zdania p.

Jeżeli zdanie p jest prawdziwe ( 1), to jego negacja  nie p jest zdaniem

fałszywym ( 0 ).

=========================

Z dwóch zdań: p  i nie p  jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

Jest to prawo wyłączonego środka.

Zdanie:

Nieprawda, że nie p ma taką samą wartość logiczną jak zdanie p

Jest to prawo podwójnego przeczenia.

=============================================================

Koniunkcja zadań p i q nazywamy zdanie " p  i q " oznaczane symbolicznie

p ∧ q

Koniuncja p ∧ q  jest prawdziwa , gdy oba zdania p i q są prawdziwe,

a w pozostałych przypadkach jest zdaniem fałszywym.

Tabelka koniunkcji

piqi p ∧q

1i1i 1

1i0i 0

0I 1I 0

0 I 0 I 0

=======

 

p ∧ q  <=> q ∧ p  - prawo przemienności koniunkcji.

(p ∧ q) ∧ r  < = > p ∧ ( q ∧ r )  - prawo łączności koniunkcji

=======================================================

Alternatywą zdań p  i q nazywamy zdanie " p lub q ", symbolicznie: p ∨ q

Alternatywa p ∨ q  jest zdaniem prawdziwym, gdy przynajmniej jedno ze

zdań p , q  jest prawdziwe.

Tabelka alternatywy

p I q I p ∨q

1 I 1 I   1

1 i 0 I   1

0 I 1 I   1

0 I 0 I   0

-----------

p γ q  < => q ∨ p    - prawo przemienności alternatywy

(p ∨ q) ∨ r = p ∨ ( q ∨ r)   - prawo łączności alternatywy

===================================================

Prawa rozdzielności

p ∧ ( q ∨ r) <=> (p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r)  koniunkcji względem alternatywy

p ∨ ( q ∧ r) <=> (p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r)  alternatywy względem koniunkcji

=============================================================

Implikacja ( wynikanie)

Implikacja zdan p i q to zdanie " jeżeli p , to q "

symbolicznie  p => q

Implikacja jest fałszywa gdy z prawdy wynika fałsz.

Tabelka implikacji

p i q i  p => q

1 i 1 I     1

1 I 0 I     0

0 I 1 I     1

0 i 0 I     1

============

Prawo przechodniości implikacji

[(p => q ) ∧ ( q => r)] => ( p => r)

------------------------------------------

Prawo zaprzeczenia implikacji

nie ( p => q ) <=> ( p ∧ nie q )

---------------------------------------

================================================

Równoważność zdań

Równoważność zdan p i q  - zdanie "  p wtedy i tylko wtedy, gdy q",

symbolicznie  p <=> q

Równoważność jest prawdziwa,gdy oba zadania mają taką samą wartość

logiczną: oba są prawdziwe lub oba są fałszywe.

Tabelka równoważności

p I q I  p <=> q

1 i  1 I       1

1 I  0 I       0

0 I  1 I       0

0 I  0 I       1

==============

 

Prawo logiki to zdanie , które jest prawdziwe dla każdej wartości logicznej zdań skladowych.

===============================================================

Prawa De Morgana

nie ( p ∧ q) <=> ( nie p ) ∨ ( nie q )

- zaprzeczenie koniunkcji zdań jest

równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań.

nie ( p ∨ q ) <=> (nie p ) ∧ ( nie q )

- zaprzeczenie alternatywy zdań  jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń

tych zdan.

===============================================================

 

Przyklady:

Koniunkcja

( sin 30⁰ = 0,5 ) ∧  ( sin 90⁰ = 1)      - zdanie prawdziwe

( cos 60⁰ = 0,5 ) ∧ ( cos 90⁰ = 1 )  - zdanie fałszywe

 

Interpretacja fizyczna koniunkcji : szeregowe połączenie wyłączników.

-------------------------------------------------------------------------------------

Alternatywa

8 jest liczbą parzystą lub nieparzystą.  - zdanie prawdziwe

I zdanie jest prawdziwe, a II jest fałszywe

 

tg 45⁰ = 1 lub  tg 30⁰ = √3  - zdanie prawdziwe

I zd. 1   ,a II zd. 0

 

Kążdy prostokąt jest kwadratem lub kazdy prostopadłościan jest sześcianem.

- zdanie fałszywe ( oba zdania skladowe są fałszywe)

 

Każdy kwadrat jest rombem lub każdy prostokąt jest równoległobokiem .

zdanie prawdziwe ( oba zdania prawdziwe )

 

Implikacja

Jeżeli n jest podzielne przez 4, to n jest podzielne przez 2. - zdanie

prawdziwe.

Zdanie:

Nieprawda, że jeżeli 1*(1-1) = 2*(1 -1) to 1 = 2

jest prawdziwe  ( 0 => 0)

Zaprzeczenie tego zdania ( implikacji):

1*(1 -1) = 2*(1 -1)   i   1 ≠ 2

jest prawdziwe.

 

============================================================

 

 

 

Answer 2

1. W logice rozpatrujemy zdania oznajmujące o których można jednoznacznie orzez że są prawdziwe albo fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość 1, a zdanie fałszywe ma ocenę 0.

 

przykład: Liczba 3 jest miejscem zerowym funkcji. 1

 

f(x)= 2x-6

y=2x-6

y=2*3-6

y=6-6

y=0

 

2. Ze zdań możemy budować nowe zdania za pomocą funktorów zdaniotwórczych.

 

a) KONIUNKCJA i

 

p | q | p^q

1 | 1 | 1

1 | 0 | 0

0 | 1 | 0

0 | 0 | 0

1                                      0

przykład: Warszawa jest stolicą Polski i Wisła wpada do Morza Czarnego. 0

 

Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zdania są prawdziwe

 

b) ALTERNATYWA - lub pvq

 

p | q | pvq

1 | 1 | 1

1 | 0 | 1

0 | 1 | 1

0 | 0 | 0

1                                  0

przykład: Warszawa jest stolicą Polski lub Wisła wpada do Morza Czarnego. 1

 

Alternatywa jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zdania ją tworzące są fałszywę.

 

c) IMPLIKACJA - jeśli p to q

 

p | q | p => q

1 | 1 | 1

1 | 0 | 0

0 | 1 | 1

0 | 0 | 1

 

1                                    0
przykład: Jeśli Warszawa jest stolicą Polski to Wisła wpada do Morza Czarnego. 0

 

Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy

 

d) RÓWNOWAŻNOŚĆ - p wtedy i tylko wtedy gdy q

 

p | q | p <=> q

1 | 1 | 1

1 | 0 | 0

0 | 1 | 0

0 | 0 | 1

 

1                                                 0
przykład: Warszawa jest stolicą Polski wtedy i tylko wtedy gdy Wisła wpada do Morza Czarnego. 0

 

Równoważność jest prawdziwa p <=> q zdania ją tworzące mają tą samą wartość logiczną

 

e) NEGACJA (ZAPRZECZENIE) - nie prawda że p

 

7 p

 

p | 7 p

1 | 0

0 | 1

1

przykład: Warszawa jest stolicą Polski.

Nie prawda że Warszawa jest stolicą Polski. 0

 

Prawo De Morgana:

1) negacja iloczynu logicznego jest równa sumie logicznej negacji jego argumentów;

2) negacja sumy logicznej jest równa iloczynowi logicznemu negacji argumentów tej sumy. Prawa de Morgana znajdują zastosowanie przy faktoryzacji funkcji logicznych.