Question

Witam mam takie zadanko tylko zalezy mi zeby rozwiazanie było opisane zebym wiedział mniej wiecej jak je zrobic :)

Udowodnij.ze jezeli dwusieczne kątów rownoległoboku przecinaja sie w czterech punktach to punkty te leza na jednym okregu.

prosze z rysunkiem jakby sie dało :)

Z Góry dziekuje :) (pilne na jutro na pierwsza lekcje)

Answer 1

Udowodnij, że jezeli dwusieczne kątów równoległoboku przecinają się w czterech punktach to punkty te leżż na jednym okręgu.

 

Dany jest równoległobok ABCD.

Przeciwległe kąty A i C oraz B i D mają więc tę samą miary.

Niech kąty przy wierzchołkach A i C mają miarę 2α, a kąty przy wierzchołkach B i D mają miarę 2β.

Dwusieczna kąta dzieli kąt na dwa kąty przystające (patrz załącznik).

 

Z trójkątów AKD, CLD, BMC i ANB wyliczymy kąty czworokata KLMN.

ΔAKD: ∢ K = 180° - (α + β)

ΔCLD: ∢ L = 180° - (α + β)

ΔBMC: ∢  M = 180° - (α + β)

ΔANB: ∢ N = 180° - (α + β)

 

Obliczymy sumę miar przeciwległych kątów w czworokącie KLMN

∢ K + ∢ M = 180° - (α + β) + 180° - (α + β) = 360° - 2(α + β)

∢ L + ∢ N = 180° - (α + β) + 180° - (α + β) = 360° - 2(α + β)

∢ K + ∢ M = ∢ L + ∢ N

czyli sumy miar przeciwległych kątów w czworokącie KLMN są równe, a jest to warunek wystrczający na to, aby na czworokącie KLMN dało się opisać okrąg, czyli taki okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki czworokąta, co kończy dowód.