Witam, mam pytanie dot. matematyki, dokładniej wzorów skróconego mnożenia do 3 potęgi. Mam przykład.... Question from @Korosor

January 2019 1 11 Report

Witam, mam pytanie dot. matematyki, dokładniej wzorów skróconego mnożenia do 3 potęgi.
Mam przykłady:
a) (x+2)^2 (x^2-2x+4)

tutaj wyszło mi po skróceniu: (x+2)^3 (x+2) i nie mam pojęcia co z tym dalej zrobić. Z tego co wiem, to nie należy robić tego "na chama" lecz wzorami skróconego mnożenia (3 potęgi).

b) (3x-1)^2 (9x^2 + 3x+ 1)

c) (x+2) (x^4 + 4x^2 + 16) (x-2)

Prosiłbym o wytłumaczenie na chociaż jednym przykładzie (najbardziej zależy mi na pierwszym) co, krok po kroku, zrobić. Dziękuje :)

RajmanXI Według tego co obliczyłem wzory na 3-cią potęgę są tutaj niepotrzebne. Wszystko da się obliczyć przy pomocy podstawowych wzorów, oraz kilku prostych przekształceń.

a)
mamy:
$(x+2) ^{2} *( x^{2} -2x+4)$
Po pierwsze "składamy" drugi nawias, korzystając ze wzoru:
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Po zastosowaniu wzoru w "drugą stronę" otrzymamy:
$(x+2) ^{2} *( x^{2} -2x+4)=(x+2)^{2}*(x-2)^{2}$
Wyrażenia w nawiasach różnią się znakiem - , jednak potęga w obu przypadkach jest taka sama. To pozwala nam zapisać wyrażenie w postaci:
$(x+2)^{2}*(x-2)^{2}=[(x+2)*(x-2)]^{2}$
W nawiasie znowu mamy wzór skróconego mnożenia, tym razem:
$(a-b)*(a+b)=a^{2}-b^{2}$
Po zastosowaniu go w naszym przykładzie:
$[(x+2)*(x-2)]^{2}=[x^{2}-4]^{2}$
Tutaj znów mamy wzór skróconego mnożenia, ten sam, z którego korzystaliśmy na samym początku. Musimy pamiętać że x jest w 2 potędze.
Po zastosowaniu wzoru otrzymamy ostateczny wynik:
$[x^{2}-4]^{2}=x^{4}-8x^{2}+16$

b)
W tym przykładzie zasady są takie same jak poprzednio, przedstawię więc tylko rozwiązanie krok po kroku. W razie pytań mogę dodatkowo coś wytłumaczyć.

$(3x-1) ^{2} *(9x^{2} +3x+1)=(3x-1)^{2} *(3x+1)^{2}$ $=[(3x-1)*(3x+1)]^{2} =[9x^{2} -1]^{2} =81x^{4} -18x^{2} +1$

c)
Ten przykład jest nieco inny niż poprzednie, ale dalej stosujemy te same wzory. Zmieni się tylko kolejność w jakiej ich użyjemy.

Na początku przepiszemy równanie w nieco innej formie, aby łatwiej dostrzec zależności. Ponieważ mnożenie jest przemienne możemy zrobić to bez wpływu na końcowy wynik.
$(x+2)*(x-2)*(x^{4} +4x^{2} +16)$
Pierwsze dwa nawiasy można połączyć korzystając z drugiego wzoru. Natomiast w trzecim nawiasie mamy pierwszy wzór.
$(x+2)*(x-2)*(x^{4} +4x^{2} +16)=(x^{2}-4)*(x^{2}+4)^{2}$

Teraz skorzystamy z tego $(x^{2}+4)^{2}$ możemy rozdzielić na iloczyn dwóch takich samych nawiasów: $(x^{2}+4)*(x^{2}+4)$

Wstawiając to do naszego wyrażenia otrzymamy kolejną możliwość zastosowania wzorów skróconego mnożenia:
$(x^{2}-4)*(x^{2}+4)*(x^{2}+4)=(x^{4}-16)*(x^{2}+4)$
W tym miejscu możliwość stosowania wzorów się kończy. Jedyne co możemy zrobić to policzyć to, jak sam powiedziałeś "na chama"
$(x^{4}-16)*(x^{2}+4)=x^{6}+4x^{4}-16x^{2}-64$

Być może istnieje inny sposób na zrobienie c) jak stosowanie wzorów w innej kolejności czy inny sposób i może uda się uniknąć liczenia "na chama" na końcu. Jest to kwestia zauważenie odpowiednich możliwości. Jednak wynik powinien być poprawny a sposób rozwiązania dobry.

W razie pytań pisz.

2 votes Thanks 1