Question

WItam, mam jutro kartkówkę z matemtyki. Rozwiązywanie układów równań na 2 sposoby Metoda podstawiania oraz metoda przeciwnych wspólczynników. A więc przy każdym obliczeniu po prosze napisane dlaczego tak sie robi, jak dla najgłupszego dziecka na ziemi, by zrozumiało. Każde działanie na 2 sposoby.

A) {6x-3y=9

x+5y=-9,5
B) {2x-2y=7

4x+3y=21

C) {2x+3y=14

3x-2y=8

D) {2x-3y=10
3x-5y+11



Dwoma sposobami i opisane :) dzięki xD

Answer 1

a)

6x-3y=9      

x+5y=-9,5

 

Metoda podstawiania:

6x-3y=9      

x+5y=-9,5   ⇒   z pierwszego równania wyznaczamy jedną niewiadomą np. y  :

 

-3y = 9-6x /:(-3)  ⇒   przy przenoszeniu na drugą stronę równania musimy pamiętać o zmianie

x+5y=-9,5                  znaku na przeciwny  (+ na -,  - na +), aby otrzymać sam "y" musimy obie 

                                   strony równania podzielić przez to co znajduje się przy "y"

 

y = -3+2x   ⇒   tak wyliczony "y" podstawiamy do drugiego równania:

x+5(-3+2x) = -9,5   ⇒   obliczamy drugie równanie:

 

y = -3+2x

x-15+10x = -9,5

 

y = -3+2x

x+10x = -9,5+15

 

y = -3+2x

11x = 5,5 /:11   ⇒   tutaj znowu obie strony dzielimy przez to co jest przy "x"

 

y = -3+2x

x = 0,5   ⇒   tak obliczony x podstawiamy do pierwszego równania:

 

y = -3+2·0,5

x = 0,5

 

y = -3+1

x = 0,5

 

y = -2

x = 0,5   ⇒   ukł. równań rozwiązany, wykonajmy sprawdzenie:

 

6x-3y=9      

x+5y=-9,5

 

6·0,5-3·(-2) = 9

0,5+5·(-2) = -9,5

 

3+6 = 9

0,5-10 = -9,5

 

9=9

-9,5 = -9,5

 

Metoda przeciwnych współczynników:

Tutaj musimy tak przekształcić równanie, aby współczynniki przy jednej z niewiadomych były liczbami przeciwnymi (np. 2  >>  -2,  -5  >>  5)

W tym przykładzie najprościej będzie pomnożyć obustronnie drugie równanie przez -6:

6x-3y=9      

x+5y=-9,5 /·(-6)

 

6x-3y=9   

-6x-30y = 57   ⇒  teraz dodajemy lewe i prawe strony ukł. równań i otrzymamy równanie z

                              jedną niewiadomą:

Lewa strona:

6x+(-6x) = 0;     -3y+(-30y) = -33y        

Prawa strona:

9+57 = 66     ⇒   pozostaje nam:

 

-33y = 66 /:(-33)

y = -2   ⇒   teraz możemy wyliczyć x z obojętnie którego równania tego ukł. równań

 

y = -2

6x-3y = 9   

 

y = -2

6x-3·(-2) = 9

 

y = -2

6x+6 = 9

 

y = -2

6x = 9-6

 

y = -2

6x = 3 /:6

 

y = -2

x = 0,5   ⇒   gotowe!

 

b)

2x-2y=7

4x+3y=21

 

2x = 7+2y /:2

4x+3y=21

 

x = 3,5+y

4(3,5+y)+3y = 21

 

x = 3,5+y

14+4y+3y = 21

 

x = 3,5+y

7y = 21-14

 

x = 3,5+y

7y = 7 /:7

 

x = 3,5+y

y = 1

 

x = 3,5+1

y = 1

 

x = 4,5

y = 1    ⇒   myślę, że tej metody nie trzeba dodatkowo tłumaczyć, zajmijmy się drugą:

 

2x-2y=7

4x+3y=21   ⇒   wydaje mi się, że najlepiej będzie uzyskać w pierwszym równaniu przy "x"

                           liczbę (-4). Musimy w tym celu pomnożyć to równanie przez (-2):

 

 

2x-2y=7 /·(-2)

4x+3y=21

 

-4x+4y = -14

4x+3y=21   ⇒  dodajemy stronami:

 

0+7y = 7

7y = 7 /:7

y = 1

 

y = 1

2x-2y=7

 

y = 1

2x-2·1 = 7

 

y = 1

2x-2 = 7

 

y = 1

2x = 7+2

 

y = 1

2x = 9 /:2

 

y = 1

x = 4,5

 

c).

2x+3y=14

3x-2y=8

 

2x = 14-3y /:2

3x-2y=8

 

x = 7-1,5y

3x-2y=8

 

x = 7-1,5y

3(7-1,5y)-2y = 8

 

x = 7-1,5y

21-4,5y-2y = 8

 

x = 7-1,5y

-4,5y-2y = 8-21

 

x = 7-1,5y

-6,5y = -13 /:-6,5

 

x = 7-1,5y

y = 2

 

x = 7-1,5·2

y = 2

 

x = 7-3

y = 2

 

x = 4

y = 2

 

 

2x+3y=14

3x-2y=8   ⇒   w tym wypadku aby otrzymać przeciwne wspólczynniki "x" najprościej będzie

                       pomnożyć "na krzyż" tzn. współczynnikiem z pierwszego równania pomnożyć

                       drugie równanie, a współczynnikiem z drugiego - pierwsze, oprocz tego, jedno z

                       nich musi być ze znakiem minus, aby otrzymać współczynniki przeciwne:

 

2x+3y=14 /·(-3)

3x-2y=8 /·2

 

-6x-9y = -42

6x-4y = 16

 

0-13y = -26

-13y = -26 /:(-13)

y = 2

 

y = 2

2x+3y=14

 

y = 2

2x+3·2 = 14

 

y = 2

2x+6 = 14

 

y = 2

2x = 14-6

 

y = 2

2x = 8 /:2

 

y = 2

x = 4

 

d).

2x-3y=10
3x-5y=11 

 

2x = 10+3y /:2

3x-5y=11 

 

x = 5+1,5y

3x-5y=11 

 

x = 5+1,5y

3(5+1,5y)-5y = 11

 

x = 5+1,5y

15+4,5y-5y = 11

 

x = 5+1,5y

-0,5y = 11-15

 

x = 5+1,5y

-0,5y = -4 /:(-0,5)

 

x = 5+1,5y

y = 8

 

x = 5+1,5·8

y = 8

 

x = 5+12

y = 8

 

x = 17

y = 8

 

 

2x-3y=10
3x-5y=11   ⇒   tutaj tak jak w przykładzie c):

 

2x-3y=10 /·(-3)
3x-5y=11 /·2

 

-6x+9y = -30

6x-10y = 22

 

0-y = -8

-y = -8 /:(-1)   ⇒   dzielimy przez (-1) aby się pozbyć minusu przy "y"

y = 8

 

y = 8

2x-3y=10

 

y = 8

2x-3·8 = 10

 

y = 8

2x-24 = 10

 

y = 8

2x = 10+24

 

y = 8

2x = 34 /:2

 

y = 8

x = 17