Question

Wielomiany - daję naj :)
Dla jakich wartości a, b, c wielomian Q(x)= x^{3}+ax^{2}+bx+c jest podzielny przez trójmian x^{2}-3x+2 i przy dzieleniu przez dwumian x+1 daje resztę -24.

Answer 1

Najpierw rozłóżmy








1 i 2 są pierwiastkami wielomianu . Aby Q(x) był podzielny przez ten wielomian, również musi posiadać pierwiastki 1 i 2.

Zatem:




Teraz trzeba wykorzystać warunek z dzieleniem przez x+1.

, gdzie P(x) jest jakimś wielomianem stopnia 2.

Zatem:




Zauważmy, że prawa strona ostatniego równania tworzy wielomian stopnia trzeciego, którego pierwiastkiem jest -1. Zatem -1 musi być również pierwiastkiem wielomianu Q(x)+24 (lewej strony równania). To daje nam trzeci warunek:




Po obliczeniu tego układu równań wychodzi:

a=-6, b=11, c=-6