Question

Wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x-5) daje resztę 1, a przy dzieleniu przez (x+3) daje resztę -7. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = x² - 2x - 15

Answer 1

W(x)=G(x)* H(x) + R(x)

R - reszta
G(x)= funkcja, przez którą dzielimy

W(x) = (x² - 2x - 15) * H(x) + (ax + b)

(ax + b) - postać reszty

z twierdzenia Bezouta:

W(5)=1
W(-3)=-7

(x² - 2x - 15) * H(x) - wyrażenie po podstawieniu dla 5 i dla -3 zeruje się, więc zostaje nam sama postać reszty i rozwiązujemy układ równań.

układ równań:
5a+b=1
-3a+b=-7
b=1-5a
-3a + 1 -5a = -7

-8a=-8
a=1
b=-4

reszta ma postać :
R(x) = x - 4

Answer 2

W(x)=(x-5)×Q(x)+1 <=> W(5)=1
W(x)=(x+3)×Q(x)-7 <=> W(-3)=-7
W(x)=(x²-2x-15)×Q(x)+R(x)
(x-5)×(x+3)=x²+3x-5x-15=x²-2x-15
W(x)=(x-5)(x+3)×Q(x)+R(x)
R(x)=ax+b (bo dzieląc przez dwumian reszta zawsze będzie w postaci jednomianu)
W(5)=a×5+b=1
W(-3)=a×(-3)+b=-7 z tego mamy układ równań
następnie odejmujemy równania stronami:
5a+b+3a-b=1+7
8a=8
a=1
i podstawiamy do jednego z powyższych równań w celu obliczenia b:
1×5+b=1
b=-4
Czyli reszta ma postać:
R(x)=x-4

Answer 3

Rozwiazanie w zalaczniku