Question

wielomian w(x) przy dzieleniu przez (x-4) daje resztę 7, a przy dzieleniu przez (x-2) daje resztę 3. Jaka jest reszta z dzielenia tego wielomianu przez wielomian p(x)= (x - 4)(x - 2)

Answer 1

w załączniku.

pozdrawiam

Answer 2

Z tw. o reszcie: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - a) jest równa W(a) oraz z inf. "wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x - 4) daje resztę 7" wynika, że: W(4) = 7,  a  z inf. "wielomian W(x) przy dzieleniu przez przez (x - 2) daje resztę 3", że W(2) = 3

 

Z tw. o dzieleniu wielomianów: Jeśli W(x) oraz P(x) są wielomianami i P(x) nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) oraz R(x), że W(x) = P(x) · Q(x) + R(x), gdzie R(x) = 0 lub st.R(x) < st.P(x) (reszta ma zawsze stopień o 1 niższy niż stopień wielomianu, przez który dzielimy) wynika, że:

Jeśli P(x) = (x - 4)(x - 2), czyli wielomian P(x) jest 2 stopnia, to  reszta R(x) z dzielenia będzie wielomianem 1 stopnia, czyli R(x) = ax + b. Stąd otrzymujemy:

W(x) = (x - 4)(x - 2) · Q(x) + ax + b

Podstawiając w powyższej równości wartości W(4) = 7 i W(2) = 3 otrzymujemy:

W(4) = (4 - 4)(4 - 2) · Q(4) + a · 4 + b = 0 · 2 · Q(4) + 4a + b = 4a + b

4a + b = 7

W(2) = (2 - 4)(2 - 2) · Q(2) + a · 2 + b = - 2 · 0 · Q(2) + 2a + b = 2a + b

2a + b = 3

Stąd:

{4a + b = 7

{2a + b = 3  /·(- 1)

 

{4a + b = 7

{- 2a - b = - 3

___________

2a = 4 /:2

a = 2

 

2a + b = 3

2 · 2 + b = 3

4 + b = 3

b = 3 - 4

b = - 1

 

{a = 2

{b = - 1

 

Zatem reszta R(x) z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = (x - 4)(x - 2) wynosi: R(x) = 2a - 1