Wielokąt o parzystej liczbie boków opisano na okręgu i ponumerowano kolejno jego boki. Wykaż, ze sum.... Question from @Eustachy27

Gumis1234 Bierzemy wielokąt o parzystej liczbie boków. Opisujemy go na okręgu.
Weźmy dwa boki leżące obok Siebie (czyli jeden z numerem parzystym i jeden z numerem nieparzystym). Boki te są styczne do tego okręgu w punktach A i B
i przecinają się w punkcie P.(rysunek)

Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych:
Jeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P, to
|PA| = |PB|

Wielokąt ten jest parzysty czyli możemy skonstruować pary takich boków.
Jeśli długość pary boków (czyli jeden z numerem parzystym i jeden z numerem nieparzystym) jest sobie równa to suma długości wszystkich boków z numerami parzystymi jest równa sumie długości wszystkich boków z numerami nieparzystymi.

C.N.D

3 votes Thanks 4

NiedzielnyMatematyk Mamy dany wielokąt, który ma parzystą liczbę boków. Oznaczmy ją przez $2b$ ( $b\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}$ ). Liczba wierzchołków tego wielokąta również wynosi $2b$ . Wpiszmy w niego okrąg. Oznaczmy sumę długości boków parzystych przez $S_p$ , a sumę długości boków nieparzystych przez $S_n$ .
Zajmijmy się $k\hbox{-tym}$ wierzchołkiem ( $1\leq k\leq2b$ ). Każdy wierzchołek jest końcem boku parzystego oraz boku nieparzystego. Okrąg wpisany w wielokąt jest z definicji styczny do każdego z boków wielokąta. Oznaczmy przez $d_{k_p}$ odległość od $k\hbox{-tego}$ wierzchołka do punktu styczności z bokiem parzystym. Analogicznie oznaczmy odległość od $k\hbox{-tego}$ wierzchołka do punktu styczności z bokiem nieparzystym przez $d_{k_n}$ . Takie odcinki są jedynie częścią odpowiednich boków, natomiast wiemy, że każdy bok składa się z dokładnie dwóch takich części.
Zatem oczywiście $S_p = d_{1_p}+d_{2_p}+...+d_{2b_p} = \sum\limits_{k=1}^{2b}d_{k_p}$ , analogicznie $S_n = d_{1_n}+d_{2_n}+...+d_{2b_n} = \sum\limits_{k=1}^{2b}d_{k_n}$ .
Jednak z najmocniejszego twierdzenia geometrii (czyli twierdzenia o odcinkach stycznych) wiemy, że $d_{k_p}= d_{k_n}$ dla każdego $k$ - ponieważ każdy wierzchołek jest punktem przecięcia dwóch boków, które są z kolei styczne do okręgu. Zatem ostatecznie otrzymujemy:
$S_p =\sum\limits_{k=1}^{2b}d_{k_p}= \sum\limits_{k=1}^{2b}d_{k_n} = S_n\hbox{.}\blacksquare$

4 votes Thanks 3

W trójkącie równoramiennym o podstawie AB gdzie AB=a, Ac=BC=b poprowadzono środkową AD o długości x. Wykaż, ze

Wyznacz zbiór wartości funkcji

Udowodnij, że jedynym punktem o obu współrzędnych całkowitych należącym do krzywej o równaniu jest punkt P(4,-2).

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji , która jest prostopadła do prostej .

Wyznacz współrzędne punktu leżącego na paraboli o równaniu y=x²−2x+1 położonego najbliżej punktu A(4,0)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między ścianą boczną a podstawą jest równy α. Oblicz cosinus kąta między ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Dana jest funkcja . Prosta k, prostopadła do prostej o równaniu , jest styczna do wykresu funkcji w punkcie P(1,3). Napisz równanie prostej k. Wyznacz argumenty, dla których funkcja f osiąga ekstrema.

Jaką objętość metanolu o stężeniu 97% i gęstości 0,79g/cm³ można otrzymać z mieszaniny gazów powstałych w reakcji pary wodnej z 1 kg koksu o zawartości 85% węgla przy wydajności 90%? Odp. 1,33dm³

Wodny roztwór chloru o stężeniu 0,1M posiada pH=2. Ile procent chloru przereagowało z wodą?

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social