Question

Wiedząc, że sinα + cosα = √2 i α jest kątem ostrym oblicz wartość wyrażenia sin4α + cos4α . Proszę o jasne wyjaśnienie

Answer 1

Skoro jest kątem ostrym to zarówno sinus jak i cosinus są dla tego kąta dodatnie. Nie musisz tego wiedzieć, ale jeśli wiesz, to jest największą możliwą wartością sumy sinusa i cosinusa tego samego kąta i wynosi w podanej dziedzinie wynosi tyle tylko dla kąta (45 stopni). Skoro już to wiemy, to (180 stopni).

 

Jeśli nie wiesz z góry, że ten kąt to 45 stopni, to możesz to wyliczyć:

podnosimy stronami do kwadratu

(jedynka trygonometryczna) zatem

znowu stronami do kwadratu

i wychodzi takie równanie dwukwadratowe do rozwiązania.

podstawiamy jakąś zmienną pomocniczą

i otrzymujemy równanie kwadratowe

co ładnie zwija się do kwadratu po pomnożeniu stronami przez -1

zatem

Pamiętamy jednak, że alfa jest kątem ostrym, zatem jego sinus musi być dodatni, odrzucamy więc ujemne rozwiązanie. Pozostaje:

W zakresie od 0 do 90 stopni tylko jeden kąt spełnia ten warunek i jest nim kąt o mierze 45 stopni.

Reszta rozwiązania już znajduje się powyżej.

Mam nadzieję, że pomogłem.

 

Pozdrawiam

jglaalgb