Question

Wiedząc że (a-b)² jest podzielne przez 11 udowodnij, że a³-b³ też jest podzielne przez 11.

Answer 1

A³-b³= [ze wzorów skróconego mnożenia] = (a-b)(a²+ab+b²)
Skoro 11|(a-b)² czyli 11|(a-b)(a-b), 11 jest liczbą pierwszą która rozkłada się jedynie na iloczyn 11 * 1, czyli nie ma takiej możliwości by 11 dzieliło (a-b)², a nie dzieliło (a-b) zatem musi zachodzić że 11|(a-b)(11 dzieli wyrażenie (a-b)) to 11| (a-b)(a²+ab+b²) (to 11 dzieli również wyrażenie (a-b)(a²+ab+b²)
lub inaczej można przyjąć że (a-b)=11c (c pewna liczba całkowita) wtedy
(a-b)(a²+ab+b²) =11c *(a²+ab+b²) = 11 * [c*(a²+ab+b²)] czyli 11 dzieli wyrażenie (a-b)(a²+ab+b²) .

Answer 2

(a^3-b^3)/11
(a*a*a-b*b*b)/11 (a*a -2*a*b+b*b)/11
wszystkie a z prawej i lewej strony sie poskracaja tak samo b i w pierwszym zostanie -1/11 a w drugim -2/11 c.b.d.u (co było do udowodnienia)