Question

Dla jakich wartości parametru a równanie /x-1/=a^2-4a-1 ma dwa dodatnie pierwiastki? //- wartość bezwzględna

Answer 1

|x-1|=m  ma dwa pierwiastki dodatnie, gdy m>0

1. a²-4a-1>0

Δ=16+4=20

√Δ=2√5

m.z. a=(4-2√5)/2=2-√5 lub a=2+√5

a∈(-∞,2-√5)u(2+√5,+∞) n (-∞,0)u(4,+∞)

a∈(-∞,2-√5)u(2+√5,+∞)

 

x-1=a²-4a-1

x=a²-4a>0

a(a-4)>0

2.

x-1=-(a²-4a-1)

x=-a²+4a+2>0

Δ=16+8=24

√Δ=2√6

m.z. a=(-4-2√6)/(-2)=2+√6 v a=2-√6

a∈(2-√6,2+√6)

 

Odp. Czesc wspolna z przypadku I i II

a∈(2-√6, 2-√5) u (2+√5, 2+√6)

 

 

Answer 2

Ix-1I = a²-4a-1

Równanie ma dwa dodatnie pierwiastki, gdy:

a²-4a-1 > 0

Δ = b²-4ac = 16+4 = 20

√Δ = √20 = 2√5 

a1 = (4-2√5)/2 = 2-√5

a2 = (4+2√5)/2 = 2+√5

zatem:

a ∈(-∞; 2-√5) u (2+√5;+∞)

 

Przy powyższym założeniu pierwiastkiem równania są liczby:

x1-1 = a²-4a-1

x2-1 = -(a²-4a-1)

Ponieważ pierwiastki równania mają być dodatnie,to:

x1 > 0

 

Sprawdzamy,kiedy x2 > 0

-(a²-4a-1)+1 > 0

-a²+4a+1+1 > 0

-a²+4a+2 > 0  I*(-1)

a²-4a-2 < 0

Δ = 16+8 = 24

√Δ = √24 = 2√6 

a1 = (4-2√6)/2 = 2-√6

a2 = (4+2√6)/2 = 2+√6

a ∈(2-√6; 2+√6)

 

Część wspólna z obu przypadków:

a ∈(2-√6;2-√5) u (2+√5; 2+√6)