Question

W zbiorze liczb całkowitych pionek porusza się według zasady: z punktu (x, y) może przesunąć się do punktu (x+1, y+1) lub (x+1, y-1), Ile jest różnych dróg prowadzących z punktu (0,0) do punktu (10,4) ?

Answer 1

Policzmy najpierw ile razy pionek wykonuje pierwszy ruch, a ile drugi
niech a - liczba pierwszych ruchów (w prawo w górę)
b - liczba drugich ruchów (w prawo w dół)
ponieważ cały czas ruszamy się w prawo to po 10 ruchach musimy znaleźć się w (10,4)
czyli a+b = 10
ponadto musieliśmy wykonać o 4 ruchy więcej w górę niż w dół
czyli a = b+4
rozwiązując ten układ mamy a =7, b=3
Zauważmy, że nie ma znaczenia w jakiej kolejności będziemy wykonywać te ruchy. Ważne, aby wykonać 7 pierwszego rodzaju i 3 drugiego. Czyli wystarczy z 10 ruchów wybrać 7 w których pójdziemy w górę i wtedy od razu determinujemy, że w 3 pozostałych ruchach idziemy w dół. Czyli jest możliwości