W załączeniu,proszę o rozpisanie.... Question from @Damato

December 2018 1 114 Report

W załączeniu,proszę o rozpisanie.

dominnio Zadanie 1
Zderzenie jest sprężyste więc możemy napisać dwa równania. Jedno wynikające z zasady zachowania pędu, drugie z zasady zachowania energii:
$p_p=2mv-mv\\
p_k=mv_{k1}-2mv_{k2}\\\\
E_p= \frac{mv^2}{2}+\frac{4mv^2}{2} \\
E_k= \frac{mv_{k1}^2}{2}+\frac{4mv_{k2}^2}{2} \\\\
p_p=p_k\\
mv=mv_{k1}-2mv_{k2}\\
v=v_{k1}-2v_{k2}\\\\
E_p=E_k\\
\frac{mv^2}{2}+\frac{4mv^2}{2} =\frac{mv_{k1}^2}{2}+\frac{4mv_{k2}^2}{2} \\
5v^2=v_{k1}^2+4v_{k2}^2$

Połączmy te dwa równania:
$v=v_{k1}-2v_{k2}\implies v_{k1}=v+2v_{k2}\\\\ 5v^2=(v+2v_{k2})^2+4v_{k2}^2\\ 5v^2=v^2+4vv_{k2}+4v_{k2}^2+4v_{k2}^2\\ 0=8v_{k2}^2+4vv_{k2}-4v^2\\ 0=2v_{k2}^2+vv_{k2}-v^2\\ \Delta=v^2-4(2)(-v^2)=v^2+8v^2=9v^2\\ \sqrt{\Delta}=3v\\\\ v_{k2}= \frac{-v-3v}{4}=-v\ \ \ \ \ \vee\ \ \ \ v_{k2}= \frac{-v+3v}{4}= \frac{1}{2}v \\ sprzecznosc\ bo\ v>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ v_{k1}= 2v$

Drugie ciało - to lżejsze zachowa całą swoją energię kinetyczną. (u mnie oznaczenie jest odwrotne i indeksy tego ciała są jedynkami)

Zadanie 2
Najpierw policzmy jaką pracę należy wykonać aby zatrzymać tarczę. Ta praca jest równa całkowitej energii kinetycznej ruchu obrotowego tarczy oraz kulki:
$W=E_k= \frac{ \frac{1}{2}mR^2 \omega_0^2}{2} + \frac{ \frac{m}{2}R^2\omega_0^2 }{2}\\\\
W= \frac{1}{2}mR^2\omega_0^2$

Praca to iloczyn siły i przebytej drogi:
$W=Fs$
Opóźnienie jakie musimy nadać tarczy można policzyć, ze wzoru:
$v(t)=v_o-at=0\\ a= \frac{v_0}{t}$
Natomiast drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym liczymy ze wzoru:
$s(t)= v_ot- \frac{at^2}{2}$
Przy czym znamy zależność pomiędzy prędkością kątową a prędkością liniową:
$v_0=\omega_0 R$
Zatem, łącząc te wszystkie zależności otrzymujemy:
$W=F\cdot ( v_ot- \frac{(\frac{v_0}{t})t^2}{2})=F\cdot ( v_ot- \frac{{v_0}t}{2})=F\cdot \frac{v_0t}{2} =F\cdot \frac{\omega_0 Rt}{2} \\
$

Podstawiamy pod W wcześniej wyliczoną pracę potrzebną do zatrzymania tarczy:
$\frac{1}{2}mR^2\omega_0^2=F\cdot \frac{\omega_0 Rt}{2} \\
 mR\omega_0=F\cdot {t} \\\\
\boxed{F= \frac{mR\omega_0}{t} }$

Zadanie 3
Układamy równania ruchu obrotowego i postępowego dla kuli:
$><br />Chcemy się dowiedzieć ile wynosi przyśpieszenie kuli:<br /><img src=$

Ze wzoru na przebytą drogę policzymy czas jaki się staczała:
$s= \frac{at^2}{2}\\
t= \sqrt{ \frac{2s}{a} }= \sqrt{ \frac{2\cdot \frac{H}{sin \alpha } }{\frac{5}{7}gsin \alpha} }=\boxed{ \sqrt{ \frac{14H}{5gsin^2 \alpha } } }$

Jej prędkość kątową możemy policzyć z zasady zachowania energii. Początkowa energia potencjalna zamieni się na energię kinetyczną ruchu postępowego i obrotowego:
$mgH= \frac{mv^2}{2}+ \frac{ \frac{2}{5}mR^2\cdot \frac{v^2}{R^2} }{2} \\ 
gH= \frac{v^2}{2}+ \frac{ \frac{2}{5}\cdot {v^2} }{2} \\
2gH= \frac{7}{5}v^2\\
v= \sqrt{ \frac{10gH}{7} } \\\\
\boxed{\omega= \frac{\sqrt{ \frac{10gH}{7} }}{r} }$

Energia kinetyczna ruchu obrotowego stanowi $\boxed{ \frac{2}{7} }$ całkowitej energii kinetycznej.

Zadanie 4
$x(t)=0,5sin( \frac{ \pi }{6}t+ \frac{ \pi }{4} )\\
A=0,5\\
\omega = \frac{ \pi }{6} \\
\phi= \frac{ \pi }{4}$

Energia całkowita:
$E_c= \frac{1}{2}m\omega^2A^2= \frac{1}{2}\cdot 0,001\cdot \frac{ \pi ^2}{36} \cdot 0,25\approx34,3\mu J$

Prędkość w położeniu równowagi:
$v(t)=A\omega cos(\omega t +\phi)\\
dla\ polozenia\ rownowagi\\
v(t_0)=A\omega=0,5\cdot \frac{ \pi }{6}= \frac{ \pi }{12}\cdot \frac{m}{s}$

Musimy też się dowiedzieć kiedy energia potencjalna sprężystości będzie trzykrotnie większa od energii kinetycznej. Wiemy, że w sumie dają one całkowitą energię układu zatem:
$E_p+E_k=E_c\\
3E_k+E_k=E_c\\
4E_k=E_c\\
 4\cdot \frac{1}{2}m\omega^2A^2sin^2(\omega t+\phi)= \frac{1}{2}m\omega^2A^2\\
 sin^2(\omega t+\phi)= \frac{1}{4}\\
{sin(\omega t +\phi)= \frac{1}{2}}\ \ \ \ \vee\ \ \ \ \sin(\omega t+\phi)=- \frac{1}{2} \\
 \frac{ \pi }{6}t+ \frac{ \pi }{4}= \frac{ \pi }{6} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{ \pi }{6}t+ \frac{ \pi }{4}= \frac{ 5\pi }{6} \\\\
t=- \frac{1}{2}s\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \boxed{ t= \frac{7}{2} s}$

Energia całkowita początkowa to jak już napisałem:
$E_c=\frac{1}{2}m\omega^2A^2$
Po jednym okresie amplituda zmaleje o 10%, a zatem tracone jest:
$Q=\frac{1}{2}m\omega^2( \frac{1}{10}A )^2=\frac{1}{100}\cdot \frac{1}{2}m\omega^2 A ^2$
Czyli jeden procent energii mechanicznej.

1 votes Thanks 0