W urnie jest 6 kul białych, m czarnych i n zielonych. Losujemy jedną kulę z tej urny. Wyznacz m i n,.... Question from @valletka

November 2018 1 68 Report

W urnie jest 6 kul białych, m czarnych i n zielonych. Losujemy jedną kulę z tej urny. Wyznacz m i n, wiedząc że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest dwa razy mniejsze niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest czarna, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest trzy razy mniejsze od prawdopodobieństwa wylosowania kuli, która nie jest biała. Ile równe byłoby prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, gdyby do tej urny wrzucić 8 kul białych?

Roma

Ilość kul białych: 6

Ilość kul czarnych: m

Ilość kul zielonych: n

Ilość wszystkich kul: 6 + m + n

Doświadczenie polega na wylosowaniu jednej kuli z urny, zatem liczba wszystkich możliwych zdarzeń (moc zbioru zdarzeń elementarnych) wynosi:

$|\Omega| = 6 + m + n$

Zdarzenie A: wylosowanie kuli czarnej

Liczba zdarzeń sprzyjających zadarzeniu (moc zbioru A) wynosi:

$|A| = m$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest wynosi:

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{m}{6 + m + n}$

Zdarzenie "wylosowanie kuli, która nie jest czarna" jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, zatem:

Zdarzenie A': wylosowanie kuli, która nie jest czarna

Prawdopodobieństwo zdarzenia A' jest wynosi:

$P(A') =1 - P(A) = 1 - \frac{m}{6 + m + n}$

Z treści zadania:

$P(A) = \frac{1}{2} \cdot P(A') \ / \cdot 2 \\\\ 2 \cdot P(A) = P(A') \\\\ 2 \cdot \frac{m}{6 + m + n} = 1 - \frac{m}{6 + m + n} \ / \cdot (6 + m + n) \\\\ 2m = 6 + m + n - m \\\\ 2m - n = 6$

Zdarzenie B: wylosowanie kuli białej

Liczba zdarzeń sprzyjających zadarzeniu (moc zbioru B) wynosi:

$|B| = 6$

Prawdopodobieństwo zdarzenia B jest wynosi:

$P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{6}{6 + m + n}$

Zdarzenie "wylosowanie kuli, która nie jest biała" jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia B, zatem:

Zdarzenie B': wylosowanie kuli, która nie jest biała

Prawdopodobieństwo zdarzenia B' jest wynosi:

$P(B') =1 - P(B) = 1 - \frac{6}{6 + m + n}$

Z treści zadania:

$P(B) = \frac{1}{3} \cdot P(B') \ / \cdot 3 \\\\ 3 \cdot P(B) = P(B') \\\\ 3 \cdot \frac{6}{6 + m + n} = 1 - \frac{6}{6 + m + n} \ / \cdot (6 + m + n) \\\\ 18 = 6 + m + n - 6 \\\\ m + n = 18$

Stąd:

$\underline{\left \{ {{2m - n = 6} \atop {m + n = 18}} \right.} \\\ 3m = 24 / \ : 3 \\\ m = 8 \\\\ m + n = 18 \\\ 8 + n = 18 \\\ n = 18 - 8 \\\ n = 10 \\\\ \left \{ {{m = 8} \atop {n = 10}} \right.$