Question

W urnie jest 5 kul z następującymi liczbami -1, 0, 1, 1, 2 losujemy bez zwracania 2 kule. Zmienna losowa X jest sumą na wylosowanych kulach.
Wyznaczyć rozkład tej zmiennej losowej i jej dystrybuantę.

Answer 1

W urnie jest 5 kul z następującymi liczbami -1, 0, 1, 1, 2 losujemy bez zwracania 2 kule. Zmienna losowa X jest sumą na wylosowanych kulach.
Wyznaczyć rozkład tej zmiennej losowej i jej dystrybuantę.

Ciekawe zadanie, więc warto to rozwiązać. Z jakiej to szkoły?

Rozwiązanie.
Zastanówmy się, jakie liczby są możliwe do uzyskania i z jakimi prawdopobieństwami?
A: -1+0=-1
B: -1+1=0 (dwie możliwości, bo są dwie jedynki)
C: 0+1 =1 lub -1+2 = 1(trzy możliwości, bo są dwie jedynki)
D: 0+2 = 2 lub 1+1 = 2 (dwie możliwości)
E: 1+2 = 3 (dwie możliwości, bo są dwie jedynki)

Wszystkich możliwych wyborów jest ty, ile kombinacji dwuelementowych ze zbioru pięcioelementowego, czyli
|Ω| = 5!/((2!*(5-2)!) = 5!/((2!*3!) = 4*5/2=10
Zgadza się wszystko, mamy 10 możliwości, warto było policzyć, bo jednej nie uwzględniłem na początku tylko rozpisując.
Teraz wypada utworzyć tabelę z wartością sumy i odpowiadającymi jej prawdopodobieństwami.
Prawdopodobieństwa wynoszą:
P(A)= 1/10
P(B)= P(D) = P(E)= 2/10
P(C) =3/10

tabelka wygląda więc następująco

X| -1 | 0 | 1| 2| 3|
============================
P(X)|0,1|0,2|0,3|0,2|0,2|


Teraz się zastanówmy nad dystrybuantą zmiennej losowej.
Jakie są szanse, żeby zmienna X przyjęła wartość -2? Oczywiście 0, a -1? 0,1!
W związku z tym wykres dystrybuanty będzie wykresem schodkowym
dla x∈(-∞;-1) wartość 0
dla x∈<-1;0) wartość 0,1
dla x∈<0;1) wartość 0,3
dla x∈<1;2) wartość 0,6
dla x∈<2;3) wartość 0,8
dla x∈<3;∞) wartość 1

Wykres podaję w załączniku.