W trójkąt równoramienny o podstawie a i ramieniu b wpisano prostokąt (dwa wierzchołki prostokątależą.... Question from @aborigen

October 2018 1 137 Report

W trójkąt równoramienny o podstawie a i ramieniu b wpisano prostokąt (dwa wierzchołki prostokąta
leżą na podstawie a, dwa pozostałe na ramionach trójkąta). Znaleźć wymiary prostokąta, którego
pole jest największe. Obliczyć Pmax.

irenas

Narysuj trójkąt równoramienny ABC o podstawie |AB|=a i ramieniu |AC|=|BC|=b.

Narysuj prostokąt KLMN tak, że punkty K, L leżą na AB, M leży na BC i M leży na AC.

|KL|=|MN|=x

|KN|=|ML|=y

Poprowadź wysokość |CD|=h trójkąta ABC na podstawę AB (D to środek boku AB).

Trójkąt NMC jest podobny do trójkąta ABC.

Z tego podobieństwa

$\frac{a}{h}=\frac{x}{h-y}\\ah-ay=xh\\ay=h(a-x)\\y=\frac{h(a-x}{a}$

$P=xy=\frac{h}{a}(-x^2+ax)\\h^2=b^2-(\frac{a}{2})^2=b^2-\frac{a^2}{4}=\frac{4b^2-a^2}{4}\\h=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}$

a i b to wielkości stałe.

$P(x)=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2a}(-x^2+ax)$

P(x) to funkcja kwadratowa. Jej wykres to parabola z ramionami skierowanymi w dół. Taka funkcja ma wartość największą w wierzchołku paraboli.

$x_w=\frac{-a}{-2}=\frac{a}{2}$

$y=\frac{(a-\frac{a}{2})\sqrt{4b^2-a^2}}{2a}=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{4}$

Prostokąt ma największe pole, jeśli jego boki mają długości:

$\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{4}\end{cases}$

Pole tego prostokąta jest równe:

$P_{max}=\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{8}$

0 votes Thanks 1

Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg o promieniu R jest średnicą okręgu. Wyznaczyć długośćdrugiej podstawy trapezu, którego pole P jest największe. Obliczyć Pmax.

Answer

ABORIGEN August 2018 | 0 Replies

EN QUE CAMPO SE DESTACO ENRIQUE MALES

Answer

Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg o promieniu R jest średnicą okręgu. Wyznaczyć długośćdrugiej podstawy trapezu, którego pole P jest największe. Obliczyć Pmax.

EN QUE CAMPO SE DESTACO ENRIQUE MALES

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social