Question

W trójkąt równoboczny o boku 10 cm wpisano kwadrat którego 2 wierzchołki należądo podstawy trójkąta pozostałe 2 do ramion trójkąta . Oblicz pole tego kwadratu. Bok trójkąta oznaczyć jako a a bok kwadratu jako b.

Pani podała ze Pole kwadratu musi wynieść 300(7-4\sqrt{3})

Answer 1

 a = 10 cm

b  - długość boku kwadratu

h - wysokość trójkąta równobocznego

Mamy

h =a p(3)/2 = 10 cm *p(3)/2 = 5 p(3) cm

-------------------------------------------------

ABCD  - kwadrat

A, B  - leżą na podstawie trójkąta równobocznego

C, D - leżą na ramionach trójkąta

Wysokość trójkąta dzieli bok CD = b  na 2 równe odcinki  oraz podstawę trójkąta

na 2 równe odcinki

Z podobieństwa trójkatów prostokątnych mamy

( h - b) / 0,5 b = h / 0,5 a  

czyli

( h - b)*0,5 a = 0,5 b*h  / * 2

( h - b) *a = b*h

Po podstawieniu za  a  i  h  otrzymamy

( 5 p(3) - b) *10 = b* 5 p(3)

50 p(3) - 10 b = 5 p(3)*b  / : 5

10 p(3) - 2 b = p(3) *b

2 b + p(3) *b = 10 p(3)

b*( 2 + p(3)) = 10 p(3)

b = 10 p(3) / [ 2 + p(3)]

b = [ 10 p(3) *( 2 - p(3)] / [ ( 2 + p(3))*( 2 - p(3))] =

= [ 20 p(3) - 30 ]/ [ 4 - 3] = 20 p(3) - 30

b = [ 20 p(3) - 30 ] cm

======================

Pole kwadratu

P = b^2 = [ 20 p(3) - 30 ]^2 = 400*3 - 1200 p(3) + 900 = 2100 - 1200 p(3)

P = [ 2100 - 1200 p(3)] cm^2  

lub  inaczej zapisane

P = 300*[ 7 - 4 p(3)] cm^2

=============================

p(3)  - pierwiastek kwadratowy z 3