Question

W trójkąt prostokątny równoramienny wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie do siebie, każdy o promieniu 1 cm. Oblicz obwód tego trójkąta.

Answer 1

R= promień okregów wpisanych=1cm
odległośc srodków okregów=2cm
z twierdzenia o stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu lezacego poza okregiem wiesz, ze odległości punktów [ wierzchołki trójkata ] do punktów styczności sa równej długosci, oznaczę je x
czyli punkty stycznosci dziela przeciwprostokątna c na 3 częsci równe;
x, 2 ,x
dlatego 2, bo styczne sa prostopadłe do promieni kół , i odległośc punktów stycznosci = odległosci srodków kół

a= dł. przyprostokatnych
trójkat prostokatny równoramienny o przeciwprostokatnej = odległosci srodków okregów równej 2 ma przyprostokatne =y

czyli przyprostokatne naszego trójkata maja dxługośc ;x+y+1cm

y²+y²=2²
2y²=4
y=√2

a=x+1+√2
c=2x+2

2a²=c²
2( x+1+√2)²=(2x+2)²
2(x+1+√2)(x+1+√2) =4x²+8x+4    /;2
x²+x+x√2+x+1+√2+x√2+√2+2=2x²+4x+2
x²+2x-2x√2-1-2√2=0
x²+x(2-2√2)-1-2√2=0
Δ=(2-2√2)²-4(-1-2√2)=4-8√2+8+4+8√2=16
x1=[-2+2√2-4]/2=√2-3= sprzeczne bo <0

x=[-2+2√2+4]/2=1+√2
y=√2

a=1+√2+√2+1=2+2√2
c=a√2=√2(2+2√2)=2√2+4
obwód
=2a+c=2(2+2√2)+2√2+4=4+4√2+2√2+4=8+6√2=2(4+3√2) cm