Question

W trójkącie równormiennym o polu 240 cm² stosunek długości ramienia do długości wysokości opuszczonej nad podstawę wynosi 13:12. Oblicz promienie okręgów wpisanego i opisanego.

zadanie z tematu: pola trójkątów

Answer 1

13 x - długość ramienia

12 x - długość wysokości

y - długość połowy podstawy

Z tw. Pitagorasa mamy

y^2 =  (13x)^2 - (12x)^2 = 169 x^2 - 144 x^2 = 25 x^2

y = 5x

2y = 10x  - długość podstawy tego trójkąta równoramiennego

Pole trójkąta

P = (1/2) *10x *12x = 60 x^2

zatem

60 x^2 = 240

x^2 = 240 : 60 = 4

x = 2

zatem

b =13*2 = 26  - długość  ramienia

a = 10*2 = 20  - długośc podstawy

-------------------------------------------

p - połowa obwodu trójkąta

p = [ a + 2b]/2 = [ 20 + 52]/2 = 36

p = 36 cm

=============

Długość promienia okręgu wpisanego

obliczymy z wzoru

P = p*r

r = P/p = 240 cm^2 : 36 cm = 6  2/3 cm

=====================================

Długość promienia okręgu opisanego

obliczymy ze wzoru

P = [a*b*c]/[ 4 R]

R = [a*b*c] / [ 4 P ]

gdzie

a = 20 cm

b = c = 26 cm

zatem

R = [ 20*26*26] cm^3 / [ 4 * 240 cm^2] = 13 520 cm^3 / 960 cm^2 = 14,08(3)

R = około  14,08cm

============================