Question

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AB|=a, |BC|=|AC|=b, poprowadzono dwusieczną kąta wewnętrznego BAC, która przecięła bok BC w punkcie E. Oblicz stosunek długości odcinków |AO| do |OE| , gdzie O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Answer 1

Z twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy:

 |EB| / |BA| = |EC| / |CA|

 niech |EC| = x 

(b - x) / a = x / b

a * x = b(b - x)

ax = b² - bx

ax + bx = b²

x(a + b) = b²

x = b² / (a + b)

 

|CO| z kolei jest dwusieczną kąta ACE czyli z tego samego twierdzenia otrzymujemy:

|AO| / |AC| = |OE| / |EC|

 |AO| / b = |OE| / x

|OE| * b = |AO| * x ---- / : |OE| 

|AO| / |OE| * x =  b

|AO| / |OE| = b / x

|AO| / |OE|  = b :  b² / (a + b)

|AO| / |OE|  = b * (a + b) / b²

|AO| / |OE| = (a + b) / b