Question

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Wyznacz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt. Wynik przedstaw w najprostrzej postaci.

Answer 1

2x-przeciwprostokątna

x-jedna z przyprostokątnych

a-druga z przyprostokątnych

 

(2x)²=x²+a²

a²=4x²-x²

a²=3x²

a= x√3

 

Promień koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 1/2 długości przeciwprostokątnej.

Promień koła wpisanego w trójkąt prosotokątny wyraża się wzorem:

 

 

gdzie a,b-przyprosotokątne, c-przeciwprostokątna

 

pole koła opisanego:

P₁=π r²

P₁=π * (0,5*2x)² = π x²

 

promień koła wpisanego:

 

 

pole koła wpisanego:

P₂=π r²

 

 

 

 

 

Answer 2

a, b - przyprostokątna

c - przeciwprostokątna

R - promień okręgu opisanego na trójkącie

r - promień okręgu wpisanego w ten trójkąt

P - pole trójkąta

P(ko) - pole koła opisanego

P(kw) - pole koła wpisanego

 

 

c = 2a

 

a² + b² = c²

a² + b² = (2a)²

a² + b² = 4a²

b² = 3a² ||√

b = a√3

 

wynika z tego, że jest to trójkąt o kątach: 30°, 60° i 90°.

W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego na nim jest równy połowie przeciewprostokątnej...:

c = 2a

R = 1/2 c

R = 1/2 * 2a

R = a

 

Pole koła opisanego na tym trójkącie:

P(ko) = πR²

P(ko) = πa²

 

 

Promień okręgu wpisanego w trójkąt:

r = 2P / (a + b + c)

 

P = a*a√3/2

P = a²√3/2

 

r = 2P / (a + b + c)

r = a²√3 / (a + a√3 + 2a)

r = a²√3 / (3a + a√3)

r = a²√3(3a - a√3) / 9a² - 3a²

r = 3a³√3 - 3a³ / 6a²

r = a√3/2 - a/2

 

Pole koła wpisanego w ten trójkąt:

P(kw) = πr²

P(kw) = π*(a√3/2 - a/2)²

P(kw) = π*(3a²/4 + a²/4 - 2*a²√3/4)

P(kw) = π(a² - a²√3/2)

P(kw) = a²π - a²√3π/2

P(kw) = a²π(1 - √3/2)

 

stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt:

P(ko) / P(kw) = πa² / a²π(1 - √3/2)

P(ko) / P(kw) = 1 / (1 - √3/2)

P(ko) / P(kw) = (1 + √3/2) / 1 - 3/4

 

P(ko) / P(kw) = 4 + 2√3

 

Teraz chyba bez błędów.. ;)