Question

W trójkącie prostokątnym boki tworzą ciąg arytmetyczny. Pole trójkąta wynosi 300. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Answer 1

W trójkącie prostokątnym boki tworzą ciąg arytmetyczny. Pole trójkąta wynosi 300. Oblicz długości boków tego trójkąta.

a,b,c>0
a<b<c
więc:
a,b to przyprostokątne
c, to przeciwprostokątna

z ciągów:
b-a=c-b /+b
2b-a=c /+2
2b=a+c /:a
b=(a+c)/2


pole:
P=(1/2)a*b
300=(1/2)*a*b /*2
600=ab /:a
b=600/a

(a+c)/2=600/a /*2
a+c=1200/a /*a
a(a+c)=1200
a²+ac=1200 /-a²
ac=1200-a² /:a
c=(1200-a²)/a
c=1200/a-a

z Pitagorasa:
a²+b²=c²
a²+(600/a)²=(1200/a-a)²
a²+360000/a²=1440000/a²-2400+a² obustronnie -a²
360000/a²=1440000/a²-2400 obustronnie *a²
360000=1440000-2400a² obustronnie -360000
-2400a²+1080000=0 obustronnie +2400a²
2400a²=1080000 obustronnie :2400
a²=450
a=√450=√(9*50)=√(9*25*2)=√9*√25*√2=3*5*√2=15√2
b=600/(15√2)=40/√2=40√2/2=20√2

b²=(20√2)²=400*2=800

a²+b²=c²
450+800=c²
c²=1250
c=√1250=√(2*625)=√2*√625=25√2

Answer 2

Boki trójkąta : a, a+r, a+2r
a-długość boku
r- różnica ciągu arytmetycznego (różnica między kolejnymi bokami trójkąta)

z tw. Pitagorasa

a2+(a+r)2=(a+2r)2 a,r należą do R+ bo są to wartości figury
a2+a2+2ar+r2=a2+4ar+4r2
a2-2ar-3r2=0
delta= 16 r2
pierwiastek z delty= 4r
a=2r-4r / 2 lub a= 2r+4r / 2
a= -r lub a= 3r

1/2a *(a+r)=300
1/2a2+1/2ar-300=0
4 1/2 r2 + 3/2 r2 - 300=0
r= pierwiastek z 50

a= 15 pierwiastków z 2 w przybliżeniu 21
a+r w przybliżeniu 28
a + 2r w przybliżeniu 35

odp szukane boki to 21, 28, 35