Question

W trójkącie prostokątnym ABC, w którym kąt przy wierzchołku C jest prosty, poprowadzono wysokość CD. Udowodnij, że trójkąt CAD jest podobny do trójkąta BCD oraz |CD| = √|AD| x |DB| (Słownie ostatnie działanie = CD równa się pierwiastek z AD razy DB(AD razy DB to jest jeden cały pierwiastek))

Answer 1

Trójkąty ABC, ACD są podobne, bo każdy z nich ma jeden kąt prosty i jeden kąt wspólny. To samo dla ABC i BCD. Skoro każdy z nich jest podobny do ABC, to również są podobne do siebie (prawo przechodniości podobieństwa). Równość kątów można stwierdzić jeszcze inaczej: ∢DAC = 90 - ∢ACD, ale też ∢ABC = 90 - ∢DCB, a ∢ACD + ∢DCB = 90. Po wstawieniu 3 równania do pierwszego, a następnie do drugiego otrzymamy:
∢DAC = 90 - ∢ACD = 90 - (90 - ∢DCB) = ∢DCB
∢ABC = 90 - (90 - ∢ACD) = ∢ACD

Oznaczmy dla ułatwienia:
x = |AD|
y = |DB|
a = |BC|
b = |AC|
h = |CD|
Z tw. Pitagorasa:
x² + h² = b²
y² + h² = a²
a² + b² = (x + y)²

Z pierwszych dwóch równań mamy:
a² + b² = x² + y² + 2h²
A z trzeciego:
a² + b² = x² + 2xy + y²
Porównując prawe strony otrzymamy:
x² + y² + 2h² = x² + 2xy + y²
2h² = 2xy
h² = xy
h = √(xy), czyli
|CD| = √(|AD|*|DB|)
co należało wykazać. Można powiedzieć, że |CD| jest średnią geometryczną
|AD| i |DB|