Question

W trójkącie ABC wpisano koło, które jest styczne do boków AC i BC, odpowiednio w punktach D i E. Odcinki AD, EB , DE mają długość AD, EB = 7 cm , DE=10,08 cm.
a) wykaż, że trójkąt ABC jest równoramienny
b) oblicz pole trójkąta ABC

Nie znasz odpowiedzi - Nie pisz :)

Answer 1

Mamy dane:
ΔABC
i środek koła wpisanego w ΔABC, który oznaczymy literą O,
więc
odcinek (promień koła) OD jest prostopadły do boku AC,
odcinek (promień koła) OE jest prostopadły do boku BC,
odcinek (promień koła) OF jest prostopadły do boku AB,
wiemy, że:
a)
środek koła wpisanego w trójkąt leży on na przecięciu się dwusiecznych kątów tego trójkąta, dlatego trójkąty AOD i AOF
są przystające (odpowiednie kąty są równe:
I∢ADOI= I∢AFOI= 90⁰, I∢DAOI= I∢FAOI, I∢AODI= I∢AOFI
z sumy kątów w trójkącie równej 180⁰}
więc odcinek IADI= IAFI= 7cm
II) środek koła wpisanego w trójkąt leży on na przecięciu się dwusiecznych kątów tego trójkąta, dlatego trójkąty BOE i BOF
są przystające (odpowiednie kąty są równe:
I∢BEOI= I∢BFOI= 90⁰, I∢EBOI= I∢FBOI, I∢BOEI= I∢BOFI
i z sumy kątów w trójkącie równej 180⁰}
więc odcinek IBEI= IBFI= 7cm,
stąd bok AB w trójkącie ABC ma długość
IABI= IAFI+ IBFI= 7cm+ 7cm = 14cm
III)środek koła wpisanego w trójkąt leży on na przecięciu się dwusiecznych kątów tego trójkąta, dlatego trójkąty COD i COF
są przystające (odpowiednie kąty są równe:
I∢CDOI= I∢CEOI= 90⁰, I∢DCOI= I∢ECOI, I∢CODI= I∢COEI
i z sumy kątów w trójkącie równej 180⁰}
więc odcinek ICDI= ICEI,
stąd bok AC w trójkącie ABC ma długość
IACI= IADI+ ICDI= 7cm+ xcm
i bok BC ma długość IBCI= IBEI+ ICEI= 7cm+ xcm
Trójkąt ABC jest równoramienny IACI= IBCI
b)
Trójkat ABC jest równoramienny i jest podobny do trójkąta DEC i IABI= 14cm, IDEI= 10,08cm, IACI= 7cm+ xcm, ICDI= xcm, więc mamy:
ICDI/IACI= IDEI/IABI
x cm/(7cm+ xcm)= 10,08cm/14cm
10,08*(7+x)= 14x
70,56+ 10,08x= 14x
3,92x= 70,56
x= 70,56: 3,92
x= 7056: 392= 18
ICDI= ICEI= 18cm
IACI= IBCI= 7cm+ 18cm= 25cm
Z tw. Pitagorasa obliczamy wysokość trójkąta ABC:
h²= IACI²- IAFI²
h²= (25cm)²- (7cm)²
h²= 625cm²- 49cm²= 576cm²
h= 24cm
pole trójkąta ABC= ½IABI*h= ½*14cm*24cm= 168cm²