Question

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD. Wiadomo, że środek okręgu wpisanego w trójkąt ACD pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wyznacz miary kątów trojkąta ABC.

Answer 1

Ponieważ AD jest dwusieczną, więc:

Ponieważ środek okręgu wpisanego w trójkąt zawsze wyznacza się kreśląc dwusieczne kątów, więc środek O tego okręgu znajduje się na dwusiecznej kata DAC oraz na dwusiecznej kata ACD. W związku z tym:

, oraz

W związku z tym:

, oraz:

Ponieważ O jest jednocześnie srodkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, więc korzystam z zależności kąt środkowy = 2*kąt wpisany:

Czyli:

co daje:

Poza tym, AO = OC (bo jest to promienn okregu opisanego na trójkącie), więc AOC jest równoramienny, więc , czyli wracając do naszego równania:

Czyli oraz

Teraz tylko liczymy kąty trójkąta ABC:

;

;

Wesołych Świąt! :)